1. Planteamos el problema: Se nos da la corriente $i(t) = 8t^2 - 4t$ amperios para $t \geq 0$ y $i(t) = 0$ para $t < 0$. Queremos encontrar la carga $q(t)$ que ha entrado en el elemento en el tiempo $t$. 2. Recordemos que la carga $q(t)$ es la integral de la corriente $i(t)$ respecto al tiempo, es decir: $$q(t) = \int i(t) \, dt + C$$ Donde $C$ es la constante de integración. 3. Como $q(t) = 0$ para $t < 0$, y la corriente es cero en ese intervalo, podemos asumir que $q(0) = 0$ para determinar $C$. 4. Integramos la corriente para $t \geq 0$: $$q(t) = \int_0^t (8t^2 - 4t) \, dt = \int_0^t 8t^2 \, dt - \int_0^t 4t \, dt$$ 5. Calculamos cada integral: $$\int_0^t 8t^2 \, dt = 8 \int_0^t t^2 \, dt = 8 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^t = \frac{8t^3}{3}$$ $$\int_0^t 4t \, dt = 4 \int_0^t t \, dt = 4 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^t = 2t^2$$ 6. Por lo tanto: $$q(t) = \frac{8t^3}{3} - 2t^2 + C$$ 7. Usamos la condición inicial $q(0) = 0$ para encontrar $C$: $$q(0) = \frac{8 \cdot 0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + C = 0 \Rightarrow C = 0$$ 8. Finalmente, la carga que ha entrado en el elemento para $t \geq 0$ es: $$\boxed{q(t) = \frac{8t^3}{3} - 2t^2}$$ Para $t < 0$, $q(t) = 0$ según el enunciado.