1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un ciclo termodinámico con 2 moles de gas ideal diatómico que sigue el ciclo A→B→C→A en un diagrama P-V con los puntos: - A: $P_A=0.5$ kPa, $V_A=1$ m³ - B: $P_B=1.5$ kPa, $V_B=5$ m³ - C: $P_C=0.5$ kPa, $V_C=5$ m³ Se pide calcular: a) Trabajo útil del ciclo b) Calor absorbido c) Calor cedido d) Eficiencia 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Trabajo en un proceso P-V: $W=\int P\,dV$ - Para un ciclo cerrado, trabajo neto es el área encerrada en el ciclo (signo positivo si ciclo es en sentido horario). - Gas ideal diatómico: $C_V=\frac{5}{2}R$, $C_P=C_V+R=\frac{7}{2}R$ - Primera ley de la termodinámica: $\Delta U=Q-W$ - Para gas ideal, $\Delta U=nC_V\Delta T$ 3. **Cálculo del trabajo en cada proceso:** - Proceso A→B (línea recta): presión varía linealmente con volumen. Ecuación de la recta: $P(V)=mV+b$ Pendiente $m=\frac{P_B-P_A}{V_B-V_A}=\frac{1.5-0.5}{5-1}=\frac{1}{4}=0.25$ kPa/m³ Intercepto $b=P_A - mV_A=0.5 - 0.25\times1=0.25$ kPa Entonces $P(V)=0.25V + 0.25$ Trabajo: $$W_{AB}=\int_{V_A}^{V_B} P(V) dV=\int_1^5 (0.25V + 0.25) dV=\left[0.125V^2 + 0.25V\right]_1^5$$ $$= (0.125\times25 + 0.25\times5) - (0.125\times1 + 0.25\times1) = (3.125 + 1.25) - (0.125 + 0.25) = 4.375 - 0.375 = 4.0 \text{ kJ}$$ - Proceso B→C (isocórico, $V=5$ m³ constante): Trabajo $W_{BC} = 0$ (no hay cambio de volumen) - Proceso C→A (isobárico, $P=0.5$ kPa constante): $$W_{CA} = P \Delta V = 0.5 \times (1 - 5) = 0.5 \times (-4) = -2.0 \text{ kJ}$$ 4. **Trabajo neto del ciclo:** $$W_{ciclo} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 4.0 + 0 - 2.0 = 2.0 \text{ kJ}$$ 5. **Cálculo de temperaturas en cada punto usando ecuación de estado $PV=nRT$:** Constante de gases $R=8.314$ J/mol·K - $T_A = \frac{P_A V_A}{nR} = \frac{0.5 \times 10^3 \times 1}{2 \times 8.314} = \frac{500}{16.628} \approx 30.07$ K - $T_B = \frac{1.5 \times 10^3 \times 5}{2 \times 8.314} = \frac{7500}{16.628} \approx 451.1$ K - $T_C = \frac{0.5 \times 10^3 \times 5}{2 \times 8.314} = \frac{2500}{16.628} \approx 150.3$ K 6. **Calor en cada proceso usando $\Delta U = n C_V \Delta T$ y $Q = \Delta U + W$:** - Proceso A→B: $$\Delta T = T_B - T_A = 451.1 - 30.07 = 421.03 \text{ K}$$ $$\Delta U_{AB} = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times 421.03 = 2 \times 20.785 \times 421.03 = 17500 \text{ J} = 17.5 \text{ kJ}$$ $$Q_{AB} = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 17.5 + 4.0 = 21.5 \text{ kJ}$$ - Proceso B→C (volumen constante, $W=0$): $$\Delta T = T_C - T_B = 150.3 - 451.1 = -300.8 \text{ K}$$ $$\Delta U_{BC} = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (-300.8) = -12500 \text{ J} = -12.5 \text{ kJ}$$ $$Q_{BC} = \Delta U_{BC} + 0 = -12.5 \text{ kJ}$$ - Proceso C→A (presión constante): $$\Delta T = T_A - T_C = 30.07 - 150.3 = -120.23 \text{ K}$$ $$\Delta U_{CA} = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (-120.23) = -5000 \text{ J} = -5.0 \text{ kJ}$$ Trabajo $W_{CA} = -2.0$ kJ ya calculado $$Q_{CA} = \Delta U_{CA} + W_{CA} = -5.0 - 2.0 = -7.0 \text{ kJ}$$ 7. **Calor absorbido y cedido:** - Calor absorbido $Q_{in}$ es la suma de calores positivos: $$Q_{in} = Q_{AB} = 21.5 \text{ kJ}$$ - Calor cedido $Q_{out}$ es la suma de calores negativos en valor absoluto: $$Q_{out} = |Q_{BC}| + |Q_{CA}| = 12.5 + 7.0 = 19.5 \text{ kJ}$$ 8. **Eficiencia térmica:** $$\eta = \frac{W_{ciclo}}{Q_{in}} = \frac{2.0}{21.5} \approx 0.093 = 9.3\%$$