1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un sistema con tres masas: A (2 kg) sobre un plano inclinado con ángulo $\alpha = 10^\circ$, B (4 kg) sobre superficie horizontal, y C (6 kg) colgando verticalmente. Se busca el coeficiente de rozamiento mínimo $\mu$ para que el sistema no se mueva. 2. **Datos y conversiones:** - Masa A: $m_A = 2\,\text{kg}$ - Masa B: $m_B = 4\,\text{kg}$ - Masa C: $m_C = 6\,\text{kg}$ - Ángulo: $\alpha = 10^\circ$ - Gravedad: $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ Convertimos masas a pesos (fuerzas gravitatorias): $$ W_A = m_A g = 2 \times 9.8 = 19.6\,\text{N} $$ $$ W_B = m_B g = 4 \times 9.8 = 39.2\,\text{N} $$ $$ W_C = m_C g = 6 \times 9.8 = 58.8\,\text{N} $$ 3. **Análisis de fuerzas:** - En A, el peso se descompone en dos componentes: - Paralelo al plano: $W_{A\parallel} = W_A \sin \alpha = 19.6 \sin 10^\circ$ - Normal al plano: $W_{A\perp} = W_A \cos \alpha = 19.6 \cos 10^\circ$ Calculamos: $$ W_{A\parallel} = 19.6 \times 0.1736 = 3.40\,\text{N} $$ $$ W_{A\perp} = 19.6 \times 0.9848 = 19.29\,\text{N} $$ - En B, está sobre superficie horizontal, peso vertical $W_B = 39.2\,\text{N}$, normal igual a peso. - En C, peso vertical $W_C = 58.8\,\text{N}$. 4. **Fuerzas de rozamiento:** - Rozamiento en A y B, con coeficiente $\mu$ y fuerzas normales $N_A$ y $N_B$: $$ F_{rA} = \mu N_A = \mu W_{A\perp} = \mu \times 19.29 $$ $$ F_{rB} = \mu N_B = \mu W_B = \mu \times 39.2 $$ 5. **Condición de equilibrio (sin movimiento):** Sumatoria de fuerzas en la dirección del movimiento (eje del sistema) debe ser cero. Las fuerzas que tienden a mover el sistema son: - Hacia un lado: peso de C, $W_C = 58.8\,\text{N}$ - Hacia el otro lado: suma de $W_{A\parallel} +$ rozamientos en A y B Entonces: $$ W_C = W_{A\parallel} + F_{rA} + F_{rB} $$ Sustituimos: $$ 58.8 = 3.40 + \mu \times 19.29 + \mu \times 39.2 $$ $$ 58.8 = 3.40 + \mu (19.29 + 39.2) $$ $$ 58.8 = 3.40 + \mu \times 58.49 $$ 6. **Despejamos $\mu$:** $$ 58.8 - 3.40 = \mu \times 58.49 $$ $$ 55.4 = \mu \times 58.49 $$ $$ \mu = \frac{55.4}{58.49} $$ $$ \mu = 0.947 $$ 7. **Respuesta final:** El coeficiente de rozamiento mínimo para que el sistema no se mueva es: $$\boxed{\mu_{min} = 0.95}$$ Este valor indica que la fricción debe ser al menos 0.95 para evitar el movimiento del sistema.