1. Planteamos el problema: Dados dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$, la magnitud máxima de su resultante es 17 y la mínima es 5. Se pide hallar la magnitud mínima de la resultante. 2. Recordemos que la magnitud máxima de la suma de dos vectores es la suma de sus magnitudes y la mínima es la diferencia absoluta de sus magnitudes. Es decir: $$ R_{max} = |\vec{a}| + |\vec{b}| $$ $$ R_{min} = \big| |\vec{a}| - |\vec{b}| \big| $$ 3. Según el problema: $$ R_{max} = 17 $$ $$ R_{min} = 5 $$ 4. Sea $x = |\vec{a}|$ y $y = |\vec{b}|$. Entonces: $$ x + y = 17 $$ $$ |x - y| = 5 $$ 5. Consideramos dos casos para $|x - y| = 5$: - Caso 1: $x - y = 5$ - Caso 2: $y - x = 5$ 6. Caso 1: $x - y = 5$ y $x + y = 17$ Sumamos ambas ecuaciones: $$ (x - y) + (x + y) = 5 + 17 $$ $$ 2x = 22 $$ $$ x = 11 $$ Sustituimos en $x + y = 17$: $$ 11 + y = 17 $$ $$ y = 6 $$ 7. Caso 2: $y - x = 5$ y $x + y = 17$ Sumamos ambas ecuaciones: $$ (y - x) + (x + y) = 5 + 17 $$ $$ 2y = 22 $$ $$ y = 11 $$ Sustituimos en $x + y = 17$: $$ x + 11 = 17 $$ $$ x = 6 $$ 8. En ambos casos, las magnitudes son $11$ y $6$. 9. La magnitud mínima de la resultante es la diferencia absoluta de las magnitudes: $$ R_{min} = |11 - 6| = 5 $$ 10. Por lo tanto, la magnitud mínima de la resultante es 5, que coincide con el dato dado. 11. Si se busca la magnitud mínima posible de la resultante para cualquier ángulo, es justamente $5$. Respuesta final: La magnitud mínima de la resultante es **5**.