1. **Plantear el problema:** Tenemos una masa de 2 kg unida a un resorte con constante elástica $k=18$ N/m. El sistema se mueve sin fricción sobre una superficie horizontal. 2. **Ecuación diferencial del movimiento:** La ecuación que modela el movimiento armónico simple de un sistema masa-resorte sin fricción es: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$$ Donde: - $m=2$ kg es la masa - $k=18$ N/m es la constante del resorte - $x(t)$ es la posición en función del tiempo 3. **Sustituimos los valores:** $$2\frac{d^2x}{dt^2} + 18x = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre 2 para simplificar: $$\cancel{2}\frac{d^2x}{dt^2} + \cancel{18}x = 0 \Rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} + 9x = 0$$ 4. **Resolver la ecuación diferencial:** La solución general para esta ecuación es: $$x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$$ Donde $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{9} = 3$ rad/s. 5. **Condiciones iniciales:** - En $t=0$, $x(0) = 0.1$ m (desplazamiento inicial) - Velocidad inicial $v(0) = \frac{dx}{dt}(0) = 0.5$ m/s 6. **Aplicar condiciones iniciales:** Para $t=0$: $$x(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = 0.1$$ Derivamos $x(t)$: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = -3A\sin(3t) + 3B\cos(3t)$$ Para $t=0$: $$v(0) = -3A\sin(0) + 3B\cos(0) = 3B = 0.5 \Rightarrow B = \frac{0.5}{3} = \frac{1}{6}$$ 7. **Solución final:** $$x(t) = 0.1\cos(3t) + \frac{1}{6}\sin(3t)$$ Esta función describe la posición de la masa en cualquier instante $t$. **Respuesta:** - a) La ecuación diferencial es $$\frac{d^2x}{dt^2} + 9x = 0$$ - b) La posición en función del tiempo es $$x(t) = 0.1\cos(3t) + \frac{1}{6}\sin(3t)$$