1. El problema pide determinar el desplazamiento, velocidad promedio, rapidez, aceleración y cambio de dirección para el movimiento dado por la función $s = t^2 - 3t + 2$ en el intervalo $0 \leq t \leq 2$. 2. La función de posición es $s(t) = t^2 - 3t + 2$. Primero, calculamos el desplazamiento como la diferencia entre la posición final y la inicial: $$\text{Desplazamiento} = s(2) - s(0) = (2^2 - 3\cdot 2 + 2) - (0^2 - 3\cdot 0 + 2) = (4 - 6 + 2) - 2 = 0 - 2 = -2$$ 3. La velocidad promedio se calcula como el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido: $$\text{Velocidad promedio} = \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$$ 4. La rapidez promedio es el total recorrido dividido por el tiempo. Calculamos la posición en puntos intermedios para ver el recorrido: - $s(0) = 2$ - $s(1) = 1^2 - 3\cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ - $s(2) = 0$ El cuerpo se mueve de 2 a 0 (distancia 2), luego permanece en 0. La rapidez promedio es: $$\text{Rapidez promedio} = \frac{\text{distancia total}}{\text{tiempo}} = \frac{2}{2} = 1$$ 5. La velocidad instantánea es la derivada de $s(t)$: $$v(t) = s'(t) = 2t - 3$$ La aceleración es la derivada de la velocidad: $$a(t) = v'(t) = 2$$ Evaluamos en los extremos: - En $t=0$: $v(0) = 2\cdot 0 - 3 = -3$, $a(0) = 2$ - En $t=2$: $v(2) = 2\cdot 2 - 3 = 1$, $a(2) = 2$ 6. Para determinar si el cuerpo cambia de dirección, buscamos cuando la velocidad cambia de signo, es decir, cuando $v(t) = 0$: $$2t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2} = 1.5$$ Como $1.5$ está dentro del intervalo $[0,2]$, el cuerpo cambia de dirección en $t=1.5$. 7. Resumen: - Desplazamiento: $-2$ metros - Velocidad promedio: $-1$ m/s - Rapidez promedio: $1$ m/s - Velocidad en extremos: $v(0) = -3$, $v(2) = 1$ - Aceleración constante: $2$ m/s² - Cambio de dirección en $t=1.5$ segundos