1. **Planteamiento del problema:** Dado el movimiento de un cuerpo a lo largo de una recta con posición $s=f(t)$, para $s = t^2 - 3t + 2$ en el intervalo $0 \leq t \leq 2$, se pide: - a) Desplazamiento y velocidad promedio. - b) Rapidez y aceleración en los extremos del intervalo. - c) Determinar si el cuerpo cambia de dirección en el intervalo. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Desplazamiento: $\Delta s = s(t_f) - s(t_i)$ donde $t_i$ y $t_f$ son los tiempos inicial y final. - Velocidad promedio: $v_{prom} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_f) - s(t_i)}{t_f - t_i}$. - Velocidad instantánea: $v(t) = s'(t)$. - Rapidez: valor absoluto de la velocidad, $|v(t)|$. - Aceleración: $a(t) = v'(t) = s''(t)$. - Cambio de dirección ocurre cuando la velocidad cambia de signo. 3. **Cálculos:** - Posición inicial: $s(0) = 0^2 - 3\cdot0 + 2 = 2$. - Posición final: $s(2) = 2^2 - 3\cdot2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. - Desplazamiento: $$\Delta s = s(2) - s(0) = 0 - 2 = -2$$ - Velocidad promedio: $$v_{prom} = \frac{-2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$$ - Derivada para velocidad: $$s'(t) = 2t - 3$$ - Velocidad en extremos: $$v(0) = 2\cdot0 - 3 = -3$$ $$v(2) = 2\cdot2 - 3 = 4 - 3 = 1$$ - Rapidez en extremos: $$|v(0)| = 3$$ $$|v(2)| = 1$$ - Derivada segunda para aceleración: $$s''(t) = 2$$ - Aceleración en extremos (constante): $$a(0) = 2$$ $$a(2) = 2$$ - Para cambio de dirección, buscamos cuando $v(t) = 0$: $$2t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2} = 1.5$$ - Verificamos signos de $v(t)$ alrededor de $t=1.5$: Para $t=1$, $v(1) = 2 - 3 = -1$ (negativo). Para $t=2$, $v(2) = 1$ (positivo). Esto indica que la velocidad cambia de negativa a positiva en $t=1.5$, por lo que el cuerpo cambia de dirección en ese instante. **Respuesta final:** - a) Desplazamiento: $-2$ metros. - Velocidad promedio: $-1$ metros/segundo. - b) Rapidez en $t=0$ es $3$ m/s, en $t=2$ es $1$ m/s. - Aceleración constante $2$ m/s² en ambos extremos. - c) El cuerpo cambia de dirección en $t=1.5$ segundos.