1. **Plantear el problema:** Tenemos una masa de 2 kg unida a un resorte con constante elástica $k=18$ N/m, que se mueve sin fricción sobre una superficie horizontal. 2. **Ecuación diferencial del movimiento:** La ecuación que modela el movimiento armónico simple es $$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$$ donde $m$ es la masa y $k$ la constante del resorte. 3. **Sustituimos los valores:** $$2\frac{d^2x}{dt^2} + 18x = 0$$ 4. **Simplificamos dividiendo toda la ecuación entre 2:** $$\cancel{2}\frac{d^2x}{dt^2} + \cancel{2}9x = 0 \Rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} + 9x = 0$$ 5. **Resolver la ecuación diferencial:** La solución general es $$x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$$ donde $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = 3$$ rad/s. 6. **Condiciones iniciales:** En $t=0$, $x(0) = 0.1$ m y $v(0) = \frac{dx}{dt}(0) = 0.5$ m/s. 7. **Aplicar condiciones iniciales:** - Para $x(0) = 0.1$: $$x(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = 0.1$$ - Para $v(0) = 0.5$: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = -3A\sin(3t) + 3B\cos(3t)$$ $$v(0) = 3B = 0.5 \Rightarrow B = \frac{0.5}{3} = \frac{1}{6}$$ 8. **Solución particular:** $$x(t) = 0.1\cos(3t) + \frac{1}{6}\sin(3t)$$ **Respuesta final:** - a) La ecuación diferencial es $$2\frac{d^2x}{dt^2} + 18x = 0$$ o simplificada $$\frac{d^2x}{dt^2} + 9x = 0$$. - b) La posición en función del tiempo es $$x(t) = 0.1\cos(3t) + \frac{1}{6}\sin(3t)$$.