1. Planteamos el problema: Tenemos un oscilador armónico con aceleración dada por $a(t) = 4 \cos(\pi t)$ cm/s$^2$. Debemos encontrar la posición, rapidez, frecuencia, período, amplitud y aceleración máxima. 2. Recordemos que para un oscilador armónico simple la aceleración es $a(t) = -\omega^2 x(t)$, donde $\omega$ es la frecuencia angular y $x(t)$ la posición. 3. De la aceleración dada, $a(t) = 4 \cos(\pi t)$, notamos que es de la forma $a(t) = A_a \cos(\omega t)$ con $A_a=4$ y $\omega = \pi$. 4. Usando $a(t) = -\omega^2 x(t)$, despejamos la posición: $$x(t) = -\frac{a(t)}{\omega^2} = -\frac{4 \cos(\pi t)}{(\pi)^2} = -\frac{4}{\pi^2} \cos(\pi t)$$ 5. La posición en función del tiempo es: $$x(t) = -\frac{4}{\pi^2} \cos(\pi t)$$ 6. La rapidez es la derivada de la posición: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = -\frac{4}{\pi^2} \frac{d}{dt} \cos(\pi t) = -\frac{4}{\pi^2} (-\pi \sin(\pi t)) = \frac{4}{\pi} \sin(\pi t)$$ 7. La frecuencia angular es $\omega = \pi$ rad/s. 8. La frecuencia en Hz es: $$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ Hz}$$ 9. El período es el inverso de la frecuencia: $$T = \frac{1}{f} = 2 \text{ s}$$ 10. La amplitud de la posición es el valor absoluto del coeficiente de $\cos(\pi t)$ en $x(t)$: $$A = \left| -\frac{4}{\pi^2} \right| = \frac{4}{\pi^2} \approx 0.405 \text{ cm}$$ 11. La aceleración máxima es el valor máximo de $|a(t)|$, que es $4$ cm/s$^2$. Respuesta final: - Posición: $x(t) = -\frac{4}{\pi^2} \cos(\pi t)$ cm - Rapidez: $v(t) = \frac{4}{\pi} \sin(\pi t)$ cm/s - Frecuencia: $0.5$ Hz - Período: $2$ s - Amplitud: $\frac{4}{\pi^2} \approx 0.405$ cm - Aceleración máxima: $4$ cm/s$^2$