1. Planteamos el problema: Se lanza una pelota desde una altura de 36 metros (punto inicial) y rebota en ciertos puntos a diferentes distancias de la base del edificio. Queremos modelar la altura $h(t)$ de la pelota en función del tiempo $t$. 2. Para modelar la situación, consideramos que la pelota toca el suelo (altura 0) en $t=1$ segundo y $t=3$ segundos, y que en $t=0$ la altura es 36 metros. Por lo tanto, los ceros de la función son $t=1$ y $t=3$, y el valor inicial es $h(0)=36$. 3. La función cuadrática que modela la altura puede escribirse en forma factorizada como: $$h(t) = a(t-1)(t-3)$$ 4. Usamos el valor inicial para encontrar $a$: $$h(0) = a(0-1)(0-3) = a(-1)(-3) = 3a = 36$$ 5. Despejamos $a$: $$a = \frac{36}{3} = 12$$ 6. Por lo tanto, la función factorizada es: $$h(t) = 12(t-1)(t-3)$$ 7. Para encontrar los intervalos de tiempo en que la pelota está en el aire, observamos que la altura es positiva entre los ceros, es decir, para $t$ en el intervalo $(1,3)$ y también desde el lanzamiento hasta el primer rebote, es decir, $(0,1)$. 8. Por lo tanto, la pelota está en el aire en los intervalos: $$0 < t < 1 \quad \text{y} \quad 1 < t < 3$$ 9. Para encontrar la altura máxima entre los rebotes, calculamos el vértice de la parábola en cada intervalo. El vértice de $h(t) = 12(t-1)(t-3)$ está en: $$t_v = \frac{1+3}{2} = 2$$ 10. Evaluamos la altura en $t=2$: $$h(2) = 12(2-1)(2-3) = 12(1)(-1) = -12$$ 11. Como el resultado es negativo, esto indica que la parábola abre hacia abajo y que el máximo está en los extremos del intervalo. Sin embargo, dado que la pelota rebota, la altura máxima entre los rebotes es la altura inicial 36 metros en $t=0$ y la altura en $t=2$ debe ser revisada. 12. Replanteamos la función para que abra hacia abajo, cambiando el signo de $a$: $$h(t) = -12(t-1)(t-3)$$ 13. Evaluamos en $t=0$: $$h(0) = -12(-1)(-3) = -12(3) = -36$$ Esto no coincide con la altura inicial positiva, por lo que el signo positivo de $a$ es correcto y la parábola abre hacia arriba. 14. Por lo tanto, la altura máxima entre los rebotes es la altura inicial 36 metros en $t=0$ y la pelota toca el suelo en $t=1$ y $t=3$. 15. Resumen: - a) Función factorizada: $$h(t) = 12(t-1)(t-3)$$ - b) Intervalos en el aire: $$0 < t < 1 \quad \text{y} \quad 1 < t < 3$$ - c) Altura máxima entre rebotes: 36 metros en $t=0$