1. Enunciat del problema: Tenim una pilota llançada cap amunt des d'un balcó de 20 m d'altura. La seva posició vertical en funció del temps és $$y(t) = 20 + 10t - 5t^2$$ i la seva velocitat és $$v(t) = 10 - 10t$$. Cal trobar la posició i la velocitat als 1, 2 i 3 segons. 2. Fórmules i regles importants: - La posició $$y(t)$$ indica l'altura en metres en funció del temps $$t$$ en segons. - La velocitat $$v(t)$$ és la derivada de la posició respecte al temps. 3. Càlculs per $$t=1$$: - Posició: $$y(1) = 20 + 10 \times 1 - 5 \times 1^2 = 20 + 10 - 5 = 25$$ metres. - Velocitat: $$v(1) = 10 - 10 \times 1 = 0$$ m/s. 4. Càlculs per $$t=2$$: - Posició: $$y(2) = 20 + 10 \times 2 - 5 \times 2^2 = 20 + 20 - 20 = 20$$ metres. - Velocitat: $$v(2) = 10 - 10 \times 2 = 10 - 20 = -10$$ m/s. 5. Càlculs per $$t=3$$: - Posició: $$y(3) = 20 + 10 \times 3 - 5 \times 3^2 = 20 + 30 - 45 = 5$$ metres. - Velocitat: $$v(3) = 10 - 10 \times 3 = 10 - 30 = -20$$ m/s. 6. Comprovació si 1, 2 o 3 són arrels dels polinomis: - Arrels de $$y(t) = 0$$: Resolem $$20 + 10t - 5t^2 = 0$$ o equivalentment $$-5t^2 + 10t + 20 = 0$$. Dividim per -5: $$\cancel{-5}t^2 + \cancel{10}t + \cancel{20} = 0 \Rightarrow t^2 - 2t - 4 = 0$$ Resolem amb la fórmula quadràtica: $$t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$$ Els valors aproximats són $$1 - 2.236 = -1.236$$ (descartat per temps negatiu) i $$1 + 2.236 = 3.236$$. Per tant, $$t=1, 2, 3$$ no són arrels de $$y(t)$$. - Arrels de $$v(t) = 0$$: $$10 - 10t = 0 \Rightarrow 10t = 10 \Rightarrow t = 1$$. Així, $$t=1$$ és arrel de $$v(t)$$. Resposta final: - Després de 1 segon: posició = 25 m, velocitat = 0 m/s. - Després de 2 segons: posició = 20 m, velocitat = -10 m/s. - Després de 3 segons: posició = 5 m, velocitat = -20 m/s. - Els valors 1, 2 i 3 no són arrels de $$y(t)$$, però $$t=1$$ és arrel de $$v(t)$$.