1. **Planteamiento del problema:** Un vagón de montaña rusa en la posición A tiene energía cinética igual a la mitad de su energía potencial gravitatoria. Se sabe que la altura total es $H=5$ m y que $H=2h$, por lo que $h=2.5$ m. Se pide encontrar la rapidez del vagón en la posición B, despreciando fricción. 2. **Datos y fórmulas:** - Gravedad: $g=10$ m/s² - Altura en A: $H=5$ m - Altura en B: $h=2.5$ m - Energía cinética en A: $E_c = \frac{1}{2} E_p$ Las energías potencial y cinética se definen como: $$E_p = mg h$$ $$E_c = \frac{1}{2} m v^2$$ La energía mecánica total se conserva: $$E_{total} = E_c + E_p = \text{constante}$$ 3. **Relación en A:** Dado que $E_c = \frac{1}{2} E_p$ en A, entonces: $$E_c = \frac{1}{2} mgH$$ $$\frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} mgH$$ Multiplicamos ambos lados por 2 y dividimos por $m$: $$v_A^2 = gH$$ Por lo tanto: $$v_A = \sqrt{gH} = \sqrt{10 \times 5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \text{ m/s}$$ 4. **Energía total en A:** $$E_{total} = E_c + E_p = \frac{1}{2} mgH + mgH = \frac{3}{2} mgH$$ 5. **Energía en B:** En B, la altura es $h=2.5$ m, por lo que la energía potencial es: $$E_p(B) = mg h = m \times 10 \times 2.5 = 25 m$$ La energía cinética en B será: $$E_c(B) = E_{total} - E_p(B) = \frac{3}{2} mgH - mg h = mg \left( \frac{3}{2} H - h \right)$$ Sustituyendo valores: $$E_c(B) = m \times 10 \times \left( \frac{3}{2} \times 5 - 2.5 \right) = 10 m \times (7.5 - 2.5) = 10 m \times 5 = 50 m$$ 6. **Velocidad en B:** La energía cinética es: $$E_c(B) = \frac{1}{2} m v_B^2 = 50 m$$ Multiplicamos ambos lados por 2 y dividimos por $m$: $$v_B^2 = \cancel{\frac{2}{m}} \times 50 m = 100$$ Por lo tanto: $$v_B = \sqrt{100} = 10 \text{ m/s}$$ **Respuesta final:** La rapidez del vagón en la posición B es **10 m/s**.