Trabajo Campo 0F37A2

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una partícula que se mueve a lo largo de la curva $$\mathbf{r}(t) = (t, t^2, t^3)$$ para $$t$$ en el intervalo $$[0,1]$$ bajo la acción del campo de fuerzas $$\mathbf{F}(x,y,z) = (y, x, z)$$. Se pide: a) Calcular el trabajo realizado por $$\mathbf{F}$$ sobre la partícula. b) Determinar si $$\mathbf{F}$$ es un campo conservativo y las implicaciones para el trabajo. --- 2. **Fórmula para el trabajo realizado por un campo de fuerzas a lo largo de una curva:** El trabajo $$W$$ se calcula mediante la integral de línea: $$ W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt $$ Donde $$\mathbf{r}'(t)$$ es la derivada vectorial de $$\mathbf{r}(t)$$. --- 3. **Cálculo de $$\mathbf{r}'(t)$$:** $$ \mathbf{r}(t) = (t, t^2, t^3) \implies \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{d}{dt}t, \frac{d}{dt}t^2, \frac{d}{dt}t^3\right) = (1, 2t, 3t^2) $$ --- 4. **Evaluar $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$$:** Dado que $$\mathbf{F}(x,y,z) = (y, x, z)$$, sustituyendo $$x=t$$, $$y=t^2$$, $$z=t^3$$: $$ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (t^2, t, t^3) $$ --- 5. **Producto punto $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)$$:** $$ (t^2, t, t^3) \cdot (1, 2t, 3t^2) = t^2 \cdot 1 + t \cdot 2t + t^3 \cdot 3t^2 = t^2 + 2t^2 + 3t^5 = 3t^2 + 3t^5 $$ --- 6. **Integral para el trabajo:** $$ W = \int_0^1 (3t^2 + 3t^5) \, dt = 3 \int_0^1 t^2 \, dt + 3 \int_0^1 t^5 \, dt $$ Calculemos cada integral: $$ \int_0^1 t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} $$ $$ \int_0^1 t^5 \, dt = \left[ \frac{t^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6} $$ Por lo tanto: $$ W = 3 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $$ --- 7. **¿Es $$\mathbf{F}$$ conservativo?** Un campo vectorial $$\mathbf{F} = (P, Q, R)$$ es conservativo si su rotacional es cero: $$ \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} $$ Calculemos el rotacional de $$\mathbf{F}(x,y,z) = (y, x, z)$$: $$ \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) $$ Calculamos cada componente: - $$\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} = 0$$ - $$\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial x}{\partial z} = 0$$ - $$\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial y}{\partial z} = 0$$ - $$\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$ - $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$$ - $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial y} = 1$$ Por lo tanto: $$ \nabla \times \mathbf{F} = (0 - 0, 0 - 0, 1 - 1) = (0, 0, 0) $$ El rotacional es $$\mathbf{0}$$, por lo que $$\mathbf{F}$$ es un campo conservativo. --- 8. **Implicación para el trabajo si $$\mathbf{F}$$ es conservativo:** El trabajo realizado por un campo conservativo depende solo de los puntos inicial y final, no del camino seguido. En particular, si la curva es cerrada, el trabajo es cero. --- **Respuesta final:** - a) El trabajo realizado por $$\mathbf{F}$$ sobre la partícula es $$W = \frac{3}{2} = 1.5$$. - b) El campo $$\mathbf{F}$$ es conservativo porque su rotacional es cero. Esto implica que el trabajo realizado depende solo de los puntos inicial y final de la trayectoria.