1. **Planteamiento del problema:** Se nos da el potencial eléctrico en el plano xy como $$V(x,y) = e^{-2x} \cos(2y)$$. Queremos hallar el vector intensidad eléctrica $$\vec{E} = - \nabla V(x,y)$$ en el punto $$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$$ y demostrar que el potencial disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$. 2. **Fórmula y reglas importantes:** El vector intensidad eléctrica es el negativo del gradiente del potencial: $$\vec{E} = - \nabla V = - \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y} \right)$$ El gradiente indica la dirección de máximo aumento del potencial, por lo que $$-\nabla V$$ apunta hacia la dirección de máximo descenso. 3. **Cálculo del gradiente:** Calculamos las derivadas parciales: $$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{-2x} \cos(2y)\right) = -2 e^{-2x} \cos(2y)$$ $$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{-2x} \cos(2y)\right) = e^{-2x} (-2 \sin(2y)) = -2 e^{-2x} \sin(2y)$$ 4. **Vector intensidad eléctrica:** $$\vec{E} = - \nabla V = - \left(-2 e^{-2x} \cos(2y), -2 e^{-2x} \sin(2y)\right) = \left(2 e^{-2x} \cos(2y), 2 e^{-2x} \sin(2y)\right)$$ 5. **Evaluación en $$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$$:** Sustituimos $$x=\frac{\pi}{4}$$ y $$y=0$$: $$\cos(0) = 1, \quad \sin(0) = 0$$ $$e^{-2 \cdot \frac{\pi}{4}} = e^{-\frac{\pi}{2}}$$ Por lo tanto: $$\vec{E}\left(\frac{\pi}{4},0\right) = \left(2 e^{-\frac{\pi}{2}} \cdot 1, 2 e^{-\frac{\pi}{2}} \cdot 0\right) = \left(2 e^{-\frac{\pi}{2}}, 0\right)$$ 6. **Demostración de que el potencial disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$:** El gradiente $$\nabla V$$ apunta hacia la dirección de máximo aumento de $$V$$. Por definición, $$\vec{E} = - \nabla V$$ apunta hacia la dirección de máximo descenso. Esto significa que al movernos en la dirección de $$\vec{E}$$, el potencial $$V$$ disminuye. **Respuesta final:** $$\vec{E}\left(\frac{\pi}{4},0\right) = \left(2 e^{-\frac{\pi}{2}}, 0\right)$$ Y el potencial eléctrico disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$ en cada punto del plano.