1. Planteamiento del problema: Se nos da el potencial eléctrico en el plano xy como $$V(x,y) = e^{-2x} \cos(2y)$$ y el vector intensidad eléctrica $$\vec{E} = - \nabla V(x,y)$$. 2. Recordemos que el operador gradiente $$\nabla$$ aplicado a una función escalar $$V(x,y)$$ es: $$\nabla V = \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y} \right)$$ 3. Por lo tanto, el vector intensidad eléctrica es: $$\vec{E} = - \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y} \right) = \left( -\frac{\partial V}{\partial x}, -\frac{\partial V}{\partial y} \right)$$ 4. Calculemos las derivadas parciales: $$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-2x} \cos(2y) \right) = -2 e^{-2x} \cos(2y)$$ $$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{-2x} \cos(2y) \right) = e^{-2x} \cdot (-2 \sin(2y)) = -2 e^{-2x} \sin(2y)$$ 5. Entonces, $$\vec{E} = \left( -(-2 e^{-2x} \cos(2y)), -(-2 e^{-2x} \sin(2y)) \right) = \left( 2 e^{-2x} \cos(2y), 2 e^{-2x} \sin(2y) \right)$$ 6. Evaluamos en el punto $$\left( \frac{\pi}{4}, 0 \right)$$: $$e^{-2 \cdot \frac{\pi}{4}} = e^{-\frac{\pi}{2}}$$ $$\cos(0) = 1, \quad \sin(0) = 0$$ Por lo tanto, $$\vec{E} \left( \frac{\pi}{4}, 0 \right) = \left( 2 e^{-\frac{\pi}{2}} \cdot 1, 2 e^{-\frac{\pi}{2}} \cdot 0 \right) = \left( 2 e^{-\frac{\pi}{2}}, 0 \right)$$ 7. Para demostrar que el potencial eléctrico disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$, consideremos la derivada direccional de $$V$$ en la dirección de $$\vec{E}$$: La derivada direccional es $$D_{\vec{u}} V = \nabla V \cdot \vec{u}$$ donde $$\vec{u}$$ es un vector unitario. 8. Como $$\vec{E} = - \nabla V$$, entonces $$\nabla V = - \vec{E}$$. 9. La derivada direccional de $$V$$ en la dirección de $$\vec{E}$$ es: $$D_{\vec{E}} V = \nabla V \cdot \frac{\vec{E}}{||\vec{E}||} = -\vec{E} \cdot \frac{\vec{E}}{||\vec{E}||} = - ||\vec{E}|| < 0$$ 10. Esto significa que el potencial eléctrico $$V$$ disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$ en cada punto del plano. Respuesta final: \begin{cases} \vec{E} \left( \frac{\pi}{4}, 0 \right) = \left( 2 e^{-\frac{\pi}{2}}, 0 \right) \\ \text{El potencial eléctrico disminuye en la dirección de } \vec{E} \text{ en todo el plano.} \end{cases}