1. Planteamiento del problema: Se nos da el potencial eléctrico en el plano xy como $$V(x,y) = e^{-2x} \cos(2y)$$ y se pide hallar el vector intensidad eléctrica $$\vec{E} = - \nabla V(x,y)$$ en el punto $$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$$ y demostrar que el potencial disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$. 2. Fórmula y reglas importantes: El vector intensidad eléctrica es el negativo del gradiente del potencial, es decir, $$\vec{E} = - \nabla V = - \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y} \right)$$ El gradiente indica la dirección de máximo aumento del potencial, por lo que su negativo indica la dirección de máximo descenso. 3. Cálculo de las derivadas parciales: $$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{-2x} \cos(2y)\right) = -2 e^{-2x} \cos(2y)$$ $$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{-2x} \cos(2y)\right) = e^{-2x} (-2 \sin(2y)) = -2 e^{-2x} \sin(2y)$$ 4. Vector gradiente: $$\nabla V = \left(-2 e^{-2x} \cos(2y), -2 e^{-2x} \sin(2y)\right)$$ 5. Vector intensidad eléctrica: $$\vec{E} = - \nabla V = \left(2 e^{-2x} \cos(2y), 2 e^{-2x} \sin(2y)\right)$$ 6. Evaluación en $$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$$: $$\cos(0) = 1, \quad \sin(0) = 0$$ $$e^{-2 \cdot \frac{\pi}{4}} = e^{-\frac{\pi}{2}}$$ Por lo tanto, $$\vec{E}\left(\frac{\pi}{4},0\right) = \left(2 e^{-\frac{\pi}{2}} \cdot 1, 2 e^{-\frac{\pi}{2}} \cdot 0\right) = \left(2 e^{-\frac{\pi}{2}}, 0\right)$$ 7. Demostración de que el potencial disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$: El cambio direccional de $$V$$ en la dirección de $$\vec{E}$$ es $$D_{\vec{E}} V = \nabla V \cdot \frac{\vec{E}}{||\vec{E}||}$$ Pero como $$\vec{E} = - \nabla V$$, $$D_{\vec{E}} V = \nabla V \cdot \frac{-\nabla V}{||\nabla V||} = - \frac{||\nabla V||^2}{||\nabla V||} = -||\nabla V|| < 0$$ Esto muestra que el potencial disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$ en cada punto del plano. Respuesta final: - a) $$\vec{E}\left(\frac{\pi}{4},0\right) = \left(2 e^{-\frac{\pi}{2}}, 0\right)$$ - b) El potencial eléctrico disminuye en la dirección de $$\vec{E}$$ porque el cambio direccional es negativo y proporcional a la magnitud del gradiente.