1. **Planteamiento del problema:** Se tiene la función de velocidad del atleta en función del espacio recorrido $x$ (en metros): $$V(x) = -0.00055x(x - 300)$$ Se pide: a) Graficar la función cuadrática. b) Encontrar la distancia donde la velocidad es máxima y el valor de esa velocidad. c) Determinar en qué intervalos la velocidad aumenta y en cuáles disminuye. d) Calcular la velocidad al llegar a la meta (cuando $x=200$ metros). 2. **Reescribir la función para facilitar análisis:** Expandimos la función: $$V(x) = -0.00055x^2 + 0.00055 \times 300 x = -0.00055x^2 + 0.165x$$ 3. **Encontrar la distancia donde la velocidad es máxima:** La función es cuadrática con coeficiente principal negativo ($-0.00055 < 0$), por lo que tiene un máximo en el vértice. La fórmula para la coordenada $x$ del vértice es: $$x = -\frac{b}{2a}$$ Donde $a = -0.00055$ y $b = 0.165$. 4. **Cálculo del vértice:** $$x = -\frac{0.165}{2 \times (-0.00055)} = -\frac{0.165}{-0.0011} = 150$$ 5. **Calcular la velocidad máxima sustituyendo $x=150$ en $V(x)$:** $$V(150) = -0.00055 \times 150^2 + 0.165 \times 150$$ $$= -0.00055 \times 22500 + 24.75 = -12.375 + 24.75 = 12.375$$ 6. **Intervalos de aumento y disminución:** La velocidad aumenta cuando la derivada es positiva y disminuye cuando es negativa. Derivada de $V(x)$: $$V'(x) = -0.0011x + 0.165$$ Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: $$-0.0011x + 0.165 = 0 \Rightarrow x = 150$$ - Para $x < 150$, $V'(x) > 0$ (velocidad aumenta). - Para $x > 150$, $V'(x) < 0$ (velocidad disminuye). 7. **Velocidad al llegar a la meta ($x=200$):** $$V(200) = -0.00055 \times 200^2 + 0.165 \times 200$$ $$= -0.00055 \times 40000 + 33 = -22 + 33 = 11$$ --- **Respuesta final:** - La velocidad máxima es $12.375$ m/s y se alcanza a los $150$ metros. - La velocidad aumenta en el intervalo $0 < x < 150$ metros. - La velocidad disminuye en el intervalo $150 < x < 200$ metros. - La velocidad al llegar a la meta (200 m) es $11$ m/s.