1. **Planteamiento del problema:** Calcular el vector de velocidad media de la partícula cuando el segundero se mueve desde el número 3 hasta el número 9, y luego desde el número 3 hasta el número 7. 2. **Datos y fórmulas:** - Radio del movimiento circular: $r=15$ cm. - El segundero completa una vuelta en 60 s. - Los números del reloj están equiespaciados, cada uno separado por $30^\circ$ (porque $360^\circ/12=30^\circ$). - Vector posición en coordenadas cartesianas: $$\vec{r} = r(\cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j})$$ - Velocidad media entre dos posiciones: $$\vec{v}_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$ 3. **Cálculo para intervalo 3 a 9:** - Ángulo en número 3: $\theta_3 = 0^\circ$ (eje $\hat{i}$ positivo). - Ángulo en número 9: $\theta_9 = 180^\circ$. - Posiciones: $$\vec{r}_3 = 15(\cos 0^\circ\,\hat{i} + \sin 0^\circ\,\hat{j}) = 15\hat{i} + 0\hat{j}$$ $$\vec{r}_9 = 15(\cos 180^\circ\,\hat{i} + \sin 180^\circ\,\hat{j}) = -15\hat{i} + 0\hat{j}$$ - Tiempo entre 3 y 9: 6 divisiones $\times$ 5 s/división = 30 s. - Cambio de posición: $$\Delta \vec{r} = \vec{r}_9 - \vec{r}_3 = (-15 - 15)\hat{i} + (0 - 0)\hat{j} = -30\hat{i} + 0\hat{j}$$ - Velocidad media: $$\vec{v}_m = \frac{-30\hat{i} + 0\hat{j}}{30} = -1\hat{i} + 0\hat{j}$$ - Módulo: $$|\vec{v}_m| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1\ \text{cm/s}$$ 4. **Cálculo para intervalo 3 a 7:** - Ángulo en número 7: $\theta_7 = 180^\circ - 4 \times 30^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ hacia el lado izquierdo, pero en sentido horario, el número 7 está a $210^\circ$ desde el 3 (0°), porque cada número es 30° y 7 está 7-3=4 números adelante en sentido horario. - En sentido horario, ángulo para 7 es $\theta_7 = 270^\circ$ (porque 3 es 0°, 6 es 270°, 7 es 210°). Pero para simplificar, tomamos ángulos positivos en sentido antihorario desde el eje $\hat{i}$ positivo. - Mejor usar ángulos estándar: número 3 a 0°, número 7 a $210^\circ$. - Posiciones: $$\vec{r}_3 = 15(\cos 0^\circ\,\hat{i} + \sin 0^\circ\,\hat{j}) = 15\hat{i} + 0\hat{j}$$ $$\vec{r}_7 = 15(\cos 210^\circ\,\hat{i} + \sin 210^\circ\,\hat{j}) = 15(-\frac{\sqrt{3}}{2})\hat{i} + 15(-\frac{1}{2})\hat{j} = -12.99\hat{i} -7.5\hat{j}$$ - Tiempo entre 3 y 7: 4 divisiones $\times$ 5 s/división = 20 s. - Cambio de posición: $$\Delta \vec{r} = \vec{r}_7 - \vec{r}_3 = (-12.99 - 15)\hat{i} + (-7.5 - 0)\hat{j} = -27.99\hat{i} -7.5\hat{j}$$ - Velocidad media: $$\vec{v}_m = \frac{-27.99\hat{i} -7.5\hat{j}}{20} = -1.3995\hat{i} -0.375\hat{j}$$ - Módulo: $$|\vec{v}_m| = \sqrt{(-1.3995)^2 + (-0.375)^2} = \sqrt{1.9586 + 0.1406} = \sqrt{2.0992} \approx 1.45\ \text{cm/s}$$ **Respuesta final:** - Entre 3 y 9: $$\vec{v}_m = -1\hat{i} + 0\hat{j}, \quad |\vec{v}_m| = 1\ \text{cm/s}$$ - Entre 3 y 7: $$\vec{v}_m = -1.4\hat{i} - 0.38\hat{j}, \quad |\vec{v}_m| \approx 1.45\ \text{cm/s}$$