1. **Problema:** Uma empresa avalia um investimento de 1 000 000 com benefícios líquidos nos próximos 4 anos de 150 000, 200 000, 500 000 e 300 000, e taxa mínima de atratividade (TMA) de 15% ao ano. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - Valor Presente Líquido (VPL): $$VPL = \sum_{t=0}^n \frac{FC_t}{(1+i)^t}$$ onde $FC_0$ é o investimento inicial (negativo), $FC_t$ são os fluxos de caixa nos anos seguintes, $i$ é a taxa de desconto (TMA = 0,15). - Taxa Interna de Retorno (TIR): é a taxa $r$ que satisfaz $$0 = \sum_{t=0}^n \frac{FC_t}{(1+r)^t}$$ - Decisão: Aceita-se o investimento se $VPL > 0$ e $TIR > TMA$. 3. **Cálculo do VPL:** $$VPL = -1\,000\,000 + \frac{150\,000}{(1+0.15)^1} + \frac{200\,000}{(1+0.15)^2} + \frac{500\,000}{(1+0.15)^3} + \frac{300\,000}{(1+0.15)^4}$$ Calculando cada termo: $$\frac{150\,000}{1.15} = 130\,434.78$$ $$\frac{200\,000}{1.15^2} = \frac{200\,000}{1.3225} = 151\,234.57$$ $$\frac{500\,000}{1.15^3} = \frac{500\,000}{1.5209} = 328\,680.99$$ $$\frac{300\,000}{1.15^4} = \frac{300\,000}{1.7490} = 171\,516.02$$ Somando os valores presentes dos benefícios: $$130\,434.78 + 151\,234.57 + 328\,680.99 + 171\,516.02 = 781\,866.36$$ Logo, $$VPL = -1\,000\,000 + 781\,866.36 = -218\,133.64$$ 4. **Decisão pelo VPL:** Como $VPL < 0$, o investimento deve ser rejeitado. 5. **Cálculo da TIR:** Queremos $r$ tal que: $$0 = -1\,000\,000 + \frac{150\,000}{(1+r)^1} + \frac{200\,000}{(1+r)^2} + \frac{500\,000}{(1+r)^3} + \frac{300\,000}{(1+r)^4}$$ Este é um polinômio que deve ser resolvido numericamente. Testando valores próximos a 10%: - Para $r=10\%$: $$VPL \approx -1\,000\,000 + \frac{150\,000}{1.1} + \frac{200\,000}{1.21} + \frac{500\,000}{1.331} + \frac{300\,000}{1.4641}$$ $$= -1\,000\,000 + 136\,363.64 + 165\,289.26 + 375\,939.85 + 204\,885.14 = -117\,521.11$$ - Para $r=5\%$: $$VPL \approx -1\,000\,000 + \frac{150\,000}{1.05} + \frac{200\,000}{1.1025} + \frac{500\,000}{1.1576} + \frac{300\,000}{1.2155}$$ $$= -1\,000\,000 + 142\,857.14 + 181\,405.90 + 431\,918.57 + 246\,900.83 = 3\,082.44$$ Como o VPL muda de positivo para negativo entre 5% e 10%, a TIR está entre esses valores. Interpolando linearmente: $$TIR \approx 5\% + \frac{3\,082.44}{3\,082.44 + 117\,521.11} \times (10\% - 5\%) \approx 5.13\%$$ 6. **Decisão pela TIR:** Como $TIR \approx 5.13\% < TMA = 15\%$, rejeita-se o investimento. **Resposta final:** - VPL = -218 133,64 (rejeitar investimento) - TIR \approx 5,13% (rejeitar investimento)