1. **Énoncé du problème :** Debabe a emprunté un capital $V_0$ remboursable en 6 annuités constantes $a$, avec la première annuité payable le 31 décembre 2024 et la sixième le 31 décembre 2029. On sait que : - $D_1 + D_2 = 30\,755\,430$ - $D_2 + D_3 = 31\,985\,650$ On doit calculer : le taux $i$, le premier amortissement $D_1$, le dernier amortissement $D_6$, le montant de l'annuité $a$, et le montant de l'emprunt $V_0$. 2. **Formules et règles importantes :** - L'annuité constante $a$ est la somme de l'amortissement $D_n$ et de l'intérêt $I_n$ pour chaque année $n$ : $$a = D_n + I_n$$ - L'intérêt $I_n$ est calculé sur le capital restant dû $V_{n-1}$ : $$I_n = V_{n-1} \times i$$ - L'amortissement $D_n$ est la partie du remboursement qui réduit le capital : $$D_n = a - I_n$$ - Le capital restant dû évolue ainsi : $$V_n = V_{n-1} - D_n$$ 3. **Expressions des amortissements :** - $D_1 = a - V_0 i$ - $D_2 = a - (V_0 - D_1) i = a - (V_0 - (a - V_0 i)) i = a - (V_0 - a + V_0 i) i = a - (V_0(1+i) - a) i$ Pour simplifier, on utilise la relation classique des amortissements dans un emprunt à annuités constantes : $$D_n = a (1+i)^{n-1} - V_0 i (1+i)^{n-1}$$ Mais ici, on va utiliser la relation entre amortissements consécutifs : $$D_{n+1} = D_n (1+i)$$ car l'amortissement croît de $1+i$ chaque année. 4. **Utilisation des données :** On a : $$D_2 = D_1 (1+i)$$ $$D_3 = D_2 (1+i) = D_1 (1+i)^2$$ Les sommes données : $$D_1 + D_2 = D_1 + D_1 (1+i) = D_1 (2 + i) = 30\,755\,430$$ $$D_2 + D_3 = D_1 (1+i) + D_1 (1+i)^2 = D_1 (1+i)(2 + i) = 31\,985\,650$$ 5. **Calcul du taux $i$ :** Divisons la deuxième équation par la première : $$\frac{D_1 (1+i)(2+i)}{D_1 (2+i)} = \frac{31\,985\,650}{30\,755\,430}$$ $$1+i = \frac{31\,985\,650}{30\,755\,430} \approx 1.04$$ Donc : $$i = 0.04 = 4\%$$ 6. **Calcul de $D_1$ :** De la première équation : $$D_1 (2 + i) = 30\,755\,430$$ $$D_1 (2 + 0.04) = 30\,755\,430$$ $$D_1 \times 2.04 = 30\,755\,430$$ $$D_1 = \frac{30\,755\,430}{2.04} = 15\,080\,000$$ 7. **Calcul de $D_6$ :** $$D_6 = D_1 (1+i)^{5} = 15\,080\,000 \times 1.04^{5}$$ $$D_6 = 15\,080\,000 \times 1.21665 = 18\,345\,000$$ 8. **Calcul de l'annuité $a$ :** $$a = D_1 + V_0 i$$ Mais on ne connaît pas encore $V_0$, on utilise la formule de l'annuité constante : $$a = V_0 \times \frac{i (1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$$ avec $n=6$. 9. **Calcul de $V_0$ :** On sait que : $$D_1 = a - V_0 i$$ Donc : $$a = D_1 + V_0 i$$ On remplace $a$ dans la formule de l'annuité : $$D_1 + V_0 i = V_0 \times \frac{i (1+i)^6}{(1+i)^6 - 1}$$ $$D_1 = V_0 \left( \frac{i (1+i)^6}{(1+i)^6 - 1} - i \right) = V_0 i \left( \frac{(1+i)^6}{(1+i)^6 - 1} - 1 \right)$$ $$D_1 = V_0 i \frac{1}{(1+i)^6 - 1}$$ Donc : $$V_0 = D_1 \times \frac{(1+i)^6 - 1}{i}$$ Calculons : $$(1.04)^6 = 1.265319$$ $$V_0 = 15\,080\,000 \times \frac{1.265319 - 1}{0.04} = 15\,080\,000 \times 6.632975 = 100\,000\,000$$ 10. **Calcul final de l'annuité $a$ :** $$a = V_0 \times \frac{i (1+i)^6}{(1+i)^6 - 1} = 100\,000\,000 \times \frac{0.04 \times 1.265319}{0.265319} = 100\,000\,000 \times 0.19003 = 19\,003\,000$$ **Réponses finales :** - $i = 4\%$ - $D_1 = 15\,080\,000$ - $D_6 = 18\,345\,000$ - $a = 19\,003\,000$ - $V_0 = 100\,000\,000$