1. Énoncé du problème : Une entreprise place 2 millions d'euros en banque. Dans 25 ans, son capital aura doublé. Il faut calculer le taux d'intérêt annuel pratiqué par la banque, arrondi à 0,1 % près. 2. Formule utilisée : Pour un capital initial $C_0$ qui devient $C$ après $t$ années avec un taux annuel $r$, la formule des intérêts composés est : $$C = C_0 (1 + r)^t$$ 3. Application au problème : Le capital double, donc $C = 2 C_0$, et $t = 25$ ans. On a donc : $$2 C_0 = C_0 (1 + r)^{25}$$ 4. Simplification : On peut simplifier par $C_0$ (non nul) : $$2 = (1 + r)^{25}$$ 5. Pour isoler $r$, on prend la racine 25ème des deux côtés : $$\sqrt[25]{2} = 1 + r$$ 6. Calcul de $r$ : $$r = \sqrt[25]{2} - 1$$ 7. Valeur approchée : Calculons $\sqrt[25]{2} = 2^{\frac{1}{25}}$. On sait que $2^{\frac{1}{25}} \approx e^{\frac{\ln 2}{25}}$. Calculons $\ln 2 \approx 0.6931$. Donc : $$2^{\frac{1}{25}} \approx e^{0.6931/25} = e^{0.027724} \approx 1.0281$$ 8. Donc : $$r \approx 1.0281 - 1 = 0.0281 = 2.81\%$$ 9. Arrondi à 0,1 % près : Le taux annuel est environ $2.8\%$. Réponse finale : Le taux annuel pratiqué par la banque est environ **2,8 %**.