1. **Kapitalfremskrivning** betyder, at man beregner, hvor meget en startkapital vokser til over tid med en given rente. 2. Formlen for kapitalfremskrivning er $$K_n = K_0 \times (1 + r)^n$$ hvor $K_n$ er slutkapitalen efter $n$ perioder, $K_0$ er startkapitalen, og $r$ er renten pr. periode. 3. Eksempel: Hvis du starter med 1000 og renten er 5% pr. år i 3 år, så er slutkapitalen $$K_3 = 1000 \times (1 + 0.05)^3 = 1000 \times 1.157625 = 1157.63$$ 4. Tidslinje: Startkapital 1000 ved år 0, efter 1 år 1050, efter 2 år 1102.5, efter 3 år 1157.63. 5. **Annuitetsopsparing** betyder, at man sætter et fast beløb ind hver periode, og renten beregnes på den samlede opsparing. 6. Det adskiller sig fra kapitalfremskrivning, hvor man kun har en startkapital, mens annuitetsopsparing har flere indbetalinger. 7. Formlen for fremtidsværdien af en annuitetsopsparing er $$F = y \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$$ hvor $y$ er ydelsen pr. periode. 8. Eksempel: Hvis ydelsen er 100, renten 5%, og fremtidsværdien 1320, så bestemmes antallet af ydelser $n$ ved at løse $$1320 = 100 \times \frac{(1 + 0.05)^n - 1}{0.05}$$ 9. Omarranger og isoler $(1 + 0.05)^n$: $$\frac{1320 \times 0.05}{100} = (1.05)^n - 1$$ $$0.66 = (1.05)^n - 1$$ $$1.66 = (1.05)^n$$ 10. Tag logaritmen på begge sider: $$n = \frac{\log(1.66)}{\log(1.05)} = \frac{0.2201}{0.0212} = 10.38$$ Så der skal cirka 11 ydelser til. 11. **Annuitetslån** betyder, at man låner et beløb og betaler en fast ydelse hver periode, som dækker både renter og afdrag. 12. Nutidsværdien $A_0$ af et annuitetslån med ydelse $y$, rente $r$ og antal ydelser $n$ er $$A_0 = y \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$$ 13. Eksempel: Hvis ydelsen er 500, renten 5%, og antallet af ydelser 10, så er nutidsværdien $$A_0 = 500 \times \frac{1 - (1.05)^{-10}}{0.05}$$ 14. Beregn $(1.05)^{-10} = \frac{1}{(1.05)^{10}} = \frac{1}{1.6289} = 0.6139$ 15. Så $$A_0 = 500 \times \frac{1 - 0.6139}{0.05} = 500 \times \frac{0.3861}{0.05} = 500 \times 7.722 = 3861$$ 16. Det betyder, at lånet er på cirka 3861. 17. Bevis for formlen: Summen af nutidsværdien af alle ydelser er en geometrisk række $$A_0 = y \times \left(\frac{1}{1+r} + \frac{1}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+r)^n}\right)$$ 18. Summen af denne række er $$A_0 = y \times \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$$ som ønsket.