1. Problem: Karl Åge har fået 2300 kr. i fødselsdagsgave, som han sætter i banken med en årlig rente på 3,1%. Vi skal finde ud af, hvor lang tid det tager, før beløbet vokser til 3700 kr. 2. Formel: Vi bruger formlen for rente med rentes rente (eksponentiel vækst): $$A = P \times (1 + r)^t$$ Hvor: - $A$ er det fremtidige beløb (3700 kr.) - $P$ er startbeløbet (2300 kr.) - $r$ er den årlige rente i decimalform (3,1% = 0,031) - $t$ er tiden i år, som vi skal finde 3. Opsæt ligningen: $$3700 = 2300 \times (1 + 0.031)^t$$ 4. Isolér $(1 + 0.031)^t$ ved at dividere begge sider med 2300: $$\frac{3700}{2300} = \cancel{\frac{2300}{2300}} \times (1.031)^t \Rightarrow \frac{3700}{2300} = (1.031)^t$$ 5. Beregn brøken: $$\frac{3700}{2300} \approx 1.6087$$ 6. For at finde $t$, tager vi den naturlige logaritme på begge sider: $$\ln(1.6087) = \ln((1.031)^t)$$ 7. Brug logaritmereglen $\ln(a^b) = b \ln(a)$: $$\ln(1.6087) = t \times \ln(1.031)$$ 8. Isolér $t$: $$t = \frac{\ln(1.6087)}{\ln(1.031)}$$ 9. Beregn værdierne: $$\ln(1.6087) \approx 0.4759$$ $$\ln(1.031) \approx 0.0305$$ 10. Beregn $t$: $$t = \frac{0.4759}{0.0305} \approx 15.61$$ Svar: Det tager cirka 15,6 år, før beløbet vokser til 3700 kr. i banken med 3,1% årlig rente.