1. Planteamos el problema: Un cliente realiza varios movimientos en una cuenta de ahorros con interés compuesto mensual al 3%. Queremos saber en cuánto tiempo tendrá disponible $975872.78. 2. Fórmula del interés compuesto: $$A = P(1 + i)^n$$ donde: - $A$ es el monto acumulado. - $P$ es el capital inicial. - $i$ es la tasa de interés mensual (en decimal). - $n$ es el número de meses. 3. Movimientos y tiempos: - Depósito inicial: $800000$ a los 2 meses. - Retiro: $200000$ a los 8 meses (6 meses después del primer depósito). - Nuevo depósito: $150000$ a los 10 meses (8 meses después del primer depósito). 4. Calculamos el monto acumulado en el tiempo $t$ meses después del primer depósito (es decir, desde el mes 2): El capital inicial crece desde el mes 2 hasta $t$: $$800000(1+0.03)^{t}$$ El retiro de $200000$ se hizo a los 6 meses, por lo que ese monto ya no genera interés desde ese momento. Para reflejarlo, restamos el valor actual del retiro capitalizado desde el mes 6 hasta $t$: $$-200000(1+0.03)^{t-6}$$ El nuevo depósito de $150000$ se hizo a los 10 meses, por lo que crece desde el mes 10 hasta $t$: $$150000(1+0.03)^{t-10}$$ 5. La suma de estos tres términos debe ser igual al monto deseado: $$800000(1.03)^t - 200000(1.03)^{t-6} + 150000(1.03)^{t-10} = 975872.78$$ 6. Simplificamos usando la propiedad de potencias: $$800000(1.03)^t - 200000 \frac{(1.03)^t}{(1.03)^6} + 150000 \frac{(1.03)^t}{(1.03)^{10}} = 975872.78$$ 7. Factorizamos $(1.03)^t$: $$ (1.03)^t \left(800000 - \frac{200000}{(1.03)^6} + \frac{150000}{(1.03)^{10}} \right) = 975872.78$$ 8. Calculamos los valores numéricos: $$(1.03)^6 = 1.194052$$ $$(1.03)^{10} = 1.343916$$ Entonces: $$800000 - \frac{200000}{1.194052} + \frac{150000}{1.343916} = 800000 - 167435.5 + 11162.7 = 644727.2$$ 9. La ecuación queda: $$ (1.03)^t \times 644727.2 = 975872.78$$ 10. Despejamos $(1.03)^t$: $$ (1.03)^t = \frac{975872.78}{644727.2} = 1.5147$$ 11. Aplicamos logaritmo natural para despejar $t$: $$ t \ln(1.03) = \ln(1.5147)$$ 12. Calculamos: $$ t = \frac{\ln(1.5147)}{\ln(1.03)} = \frac{0.415}{0.02956} = 14.04$$ 13. Interpretación: $t=14.04$ meses desde el segundo mes (primer depósito), es decir, aproximadamente a los 16 meses desde la apertura de la cuenta. **Respuesta final:** El cliente tendrá disponible $975872.78 aproximadamente a los 16 meses desde la apertura de la cuenta.