1. **Planteamiento del problema:** El Doctor Patch Adams realiza dos series de depósitos en su cuenta de ahorros con diferentes condiciones de interés y depósitos. 2. **Datos importantes:** - Depósitos semestrales anticipados iniciales: Q32,000; Q34,000; Q36,000; Q38,000; Q40,000; Q42,000. - Luego, depósitos semestrales vencidos durante 3.5 años (7 semestres), empezando con Q45,000 y disminuyendo un 8% cada semestre. - Tasa de interés anual 16% con capitalización trimestral para los primeros 3 años. - Tasa de interés anual 12% con capitalización semestral para los últimos 0.5 años. 3. **Objetivo:** Calcular la cantidad acumulada al final del plazo en la cuenta. 4. **Paso 1: Calcular el monto acumulado de los primeros 6 depósitos anticipados.** Estos depósitos son anticipados, es decir, se hacen al inicio de cada semestre. Su acumulación se calcula con la fórmula de valor futuro para anualidades anticipadas: $$FV = P \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)$$ Pero aquí los depósitos no son iguales, por lo que sumamos cada depósito acumulado hasta el final del plazo. 5. **Calcular tasa efectiva semestral para los primeros 3 años:** Tasa anual nominal: 16% capitalizable trimestralmente. Tasa trimestral: $i_t = \frac{0.16}{4} = 0.04$ Tasa semestral efectiva: $$i_s = (1 + i_t)^2 - 1 = (1.04)^2 - 1 = 0.0816$$ 6. **Calcular acumulación de cada depósito anticipado hasta el final del plazo (3.5 años = 7 semestres):** Los depósitos son en semestres 0 a 5 (6 depósitos), cada uno con valor $D_k$ y tiempo para acumular $7 - k$ semestres. Depósitos: Q32,000; Q34,000; Q36,000; Q38,000; Q40,000; Q42,000 Acumulación de cada depósito: $$FV_k = D_k \times (1 + i_s)^{7 - k}$$ Calculamos cada uno: - $FV_0 = 32000 \times (1.0816)^7$ - $FV_1 = 34000 \times (1.0816)^6$ - $FV_2 = 36000 \times (1.0816)^5$ - $FV_3 = 38000 \times (1.0816)^4$ - $FV_4 = 40000 \times (1.0816)^3$ - $FV_5 = 42000 \times (1.0816)^2$ 7. **Paso 2: Calcular acumulación de los depósitos semestrales vencidos durante 3.5 años (7 depósitos) con decremento del 8% cada semestre.** Primer depósito: Q45,000 Cada siguiente depósito: $D_{k} = D_{k-1} \times (1 - 0.08) = D_{k-1} \times 0.92$ Depósitos: $D_0 = 45000$, $D_1 = 45000 \times 0.92$, ..., $D_6 = 45000 \times 0.92^6$ 8. **Calcular tasa efectiva semestral para los últimos 0.5 años:** Tasa anual nominal: 12% capitalizable semestralmente (2 veces al año) Tasa semestral efectiva: $$i_{s2} = \frac{0.12}{2} = 0.06$$ 9. **Calcular acumulación de cada depósito vencido desde su momento hasta el final del plazo:** Los depósitos se hacen al final de cada semestre, por lo que el primer depósito vence al final del semestre 6 (último semestre), el segundo al final del semestre 5, etc. Para los primeros 6 depósitos (semestres 0 a 5), la tasa de interés es 16% anual capitalizable trimestralmente, para el último semestre (semestre 6) es 12% anual capitalizable semestralmente. Por simplicidad, calculamos la acumulación de cada depósito desde su momento hasta el final del plazo usando la tasa correspondiente: - Para depósitos 0 a 5, acumulación con tasa $i_s = 0.0816$ por $7 - k$ semestres. - Para depósito 6, acumulación con tasa $i_{s2} = 0.06$ por 0 semestres (no se acumula). 10. **Calcular valor futuro de cada depósito vencido:** $$FV_k = D_k \times (1 + i_s)^{7 - k} \quad \text{para } k=0..5$$ $$FV_6 = D_6 \quad \text{(sin acumulación)}$$ 11. **Sumar todos los valores futuros de depósitos anticipados y vencidos para obtener el total acumulado:** $$FV_{total} = \sum_{k=0}^5 FV_{anticipados,k} + \sum_{k=0}^6 FV_{vencidos,k}$$ 12. **Cálculos numéricos:** Calculamos potencias: - $(1.0816)^7 \approx 1.7182$ - $(1.0816)^6 \approx 1.5891$ - $(1.0816)^5 \approx 1.4693$ - $(1.0816)^4 \approx 1.3587$ - $(1.0816)^3 \approx 1.2563$ - $(1.0816)^2 \approx 1.1619$ Depósitos anticipados acumulados: - $32000 \times 1.7182 = 54982.4$ - $34000 \times 1.5891 = 54059.4$ - $36000 \times 1.4693 = 52994.8$ - $38000 \times 1.3587 = 51630.6$ - $40000 \times 1.2563 = 50252$ - $42000 \times 1.1619 = 48799.8$ Suma anticipados: $54982.4 + 54059.4 + 52994.8 + 51630.6 + 50252 + 48799.8 = 312719$ Depósitos vencidos: - $D_0 = 45000$ - $D_1 = 45000 \times 0.92 = 41400$ - $D_2 = 41400 \times 0.92 = 38088$ - $D_3 = 38088 \times 0.92 = 35041$ - $D_4 = 35041 \times 0.92 = 32238$ - $D_5 = 32238 \times 0.92 = 29659$ - $D_6 = 29659 \times 0.92 = 27270$ Acumulación vencidos (usando tasa 0.0816 para semestres 0 a 5): - $45000 \times (1.0816)^7 = 45000 \times 1.7182 = 77319$ - $41400 \times (1.0816)^6 = 41400 \times 1.5891 = 65869$ - $38088 \times (1.0816)^5 = 38088 \times 1.4693 = 55944$ - $35041 \times (1.0816)^4 = 35041 \times 1.3587 = 47610$ - $32238 \times (1.0816)^3 = 32238 \times 1.2563 = 40500$ - $29659 \times (1.0816)^2 = 29659 \times 1.1619 = 34468$ - $27270 \times (1.06)^0 = 27270$ Suma vencidos: $77319 + 65869 + 55944 + 47610 + 40500 + 34468 + 27270 = 348980$ 13. **Monto total acumulado:** $$FV_{total} = 312719 + 348980 = 661699$$ 14. **Respuesta final:** Al final del plazo, la cantidad acumulada en la cuenta de ahorros será aproximadamente **Q661,699.00**.