1. **Planteamiento del problema:** Carlos necesita acumular 30000 en 4 años con una TEA del 4%. El plan de depósitos es: - Año 1: 12 depósitos mensuales crecientes, primer depósito 600, gradiente 5% mensual. - Años 2 y 3: depósitos trimestrales constantes de valor R. - Año 4: depósitos bimestrales crecientes en 100, primer depósito 1600. 2. **Datos y fórmulas:** - TEA = 4% anual. Convertimos a tasa mensual $i_m$ para año 1: $$i_m = (1+0.04)^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 0.003273$$ - Para años 2 y 3, tasa trimestral $i_t$: $$i_t = (1+0.04)^{\frac{1}{4}} - 1 \approx 0.009852$$ - Para año 4, tasa bimestral $i_b$: $$i_b = (1+0.04)^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0.006545$$ 3. **Cálculo del valor futuro de los depósitos del año 1:** Depósitos mensuales crecientes con primer depósito $A_1=600$ y gradiente $g=600 \times 0.05=30$. Fórmula valor futuro al final del año 4 (48 meses) para gradiente creciente: $$FV_1 = A_1 \times (1+i_m)^{48-1} \times \frac{(1+i_m)^{12} - 1}{i_m} + g \times \left[ \frac{(1+i_m)^{12} - 1}{i_m^2} - \frac{12}{i_m} \right] \times (1+i_m)^{48-12}$$ Calculamos: - $(1+i_m)^{12} = (1.003273)^{12} \approx 1.0407$ - $(1+i_m)^{48} = (1.003273)^{48} \approx 1.1725$ Entonces: $$FV_1 = 600 \times 1.1725/1.003273 \times \frac{1.0407 - 1}{0.003273} + 30 \times \left[ \frac{1.0407 - 1}{0.003273^2} - \frac{12}{0.003273} \right] \times 1.1725/1.0407$$ Simplificando y calculando numéricamente: $$FV_1 \approx 600 \times 1.168 \times 12.44 + 30 \times (374.5 - 3666) \times 1.126 \approx 8720 + 30 \times (-3291.5) \times 1.126$$ $$FV_1 \approx 8720 - 111000 \approx -102280$$ (esto indica error en cálculo, corregimos factor de gradiente) Revisando fórmula correcta para gradiente creciente: Para gradiente creciente con primer pago $A_1$ y gradiente $g$: $$FV = A_1 \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)^{m-n} + g \times \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i^2} - \frac{n}{i} \right] \times (1+i)^{m-n}$$ Donde $n=12$ pagos, $m=48$ meses total. Calculamos valores: - $\frac{(1+i)^n - 1}{i} = \frac{1.0407 - 1}{0.003273} = 12.44$ - $\frac{(1+i)^n - 1}{i^2} = \frac{0.0407}{(0.003273)^2} = 3797$ - $\frac{n}{i} = \frac{12}{0.003273} = 3666$ - $3797 - 3666 = 131$ - $(1+i)^{m-n} = (1.003273)^{36} = 1.124$ Entonces: $$FV_1 = 600 \times 12.44 \times 1.124 + 30 \times 131 \times 1.124 = 8380 + 4410 = 12790$$ 4. **Cálculo del valor futuro de los depósitos trimestrales constantes R en años 2 y 3:** Número de depósitos: 8 (2 años, 4 trimestres por año) Valor futuro al final del año 4 (mes 48) con tasa trimestral $i_t=0.009852$: $$FV_2 = R \times \frac{(1+i_t)^8 - 1}{i_t} \times (1+i_t)^{4}$$ Calculamos: - $(1+i_t)^8 = (1.009852)^8 = 1.0823$ - $(1+i_t)^4 = (1.009852)^4 = 1.0407$ Entonces: $$FV_2 = R \times \frac{1.0823 - 1}{0.009852} \times 1.0407 = R \times 8.36 \times 1.0407 = R \times 8.7$$ 5. **Cálculo del valor futuro de los depósitos bimestrales crecientes en año 4:** Número de depósitos: 6 (12 meses / 2) Primer depósito $A_1=1600$, gradiente $g=100$ Tasa bimestral $i_b=0.006545$ Fórmula para valor futuro al final del año 4 (mes 48) (último depósito no se capitaliza): $$FV_3 = A_1 \times \frac{(1+i_b)^6 - 1}{i_b} + g \times \left[ \frac{(1+i_b)^6 - 1}{i_b^2} - \frac{6}{i_b} \right]$$ Calculamos: - $(1+i_b)^6 = (1.006545)^6 = 1.0407$ - $\frac{(1+i_b)^6 - 1}{i_b} = \frac{0.0407}{0.006545} = 6.22$ - $\frac{(1+i_b)^6 - 1}{i_b^2} = \frac{0.0407}{(0.006545)^2} = 950$ - $\frac{6}{i_b} = \frac{6}{0.006545} = 916$ - $950 - 916 = 34$ Entonces: $$FV_3 = 1600 \times 6.22 + 100 \times 34 = 9952 + 3400 = 13352$$ 6. **Sumamos los valores futuros y los igualamos a 30000 para hallar R:** $$FV_1 + FV_2 + FV_3 = 30000$$ $$12790 + 8.7R + 13352 = 30000$$ $$8.7R = 30000 - 12790 - 13352 = 5858$$ $$R = \frac{5858}{8.7} \approx 673.22$$ **Respuesta final:** El valor del depósito trimestral constante $R$ es aproximadamente **673.22**.