1. Planteamos el problema: Un deportista deposita 12000 al inicio de cada semestre en una cuenta con interés del 9% anual capitalizable cada cuatrimestre. Queremos saber cuánto tendrá acumulado al final de 8 años. 2. Datos importantes: - Depósito semestral: $P=12000$ - Tasa anual: $i=0.09$ - Capitalización cuatrimestral (cada 4 meses) - Tiempo total: 8 años 3. Convertimos la tasa anual a tasa por periodo de capitalización: Cada año tiene 12 meses, cada cuatrimestre 4 meses, por lo que hay 3 periodos de capitalización por año. Tasa por cuatrimestre: $i_c=\frac{0.09}{3}=0.03$ 4. Número total de cuatrimestres en 8 años: $N=8 \times 3=24$ 5. Los depósitos son semestrales, es decir, cada 6 meses, o cada 1.5 cuatrimestres. Para trabajar con la fórmula de anualidades, convertimos los depósitos a periodos de capitalización: Número de depósitos en 8 años: $8 \times 2=16$ 6. Para calcular el monto acumulado, usamos la fórmula de anualidad con depósitos al inicio de cada periodo (anualidad anticipada): $$A = P \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)$$ Pero aquí los depósitos son cada 1.5 periodos, no cada periodo. Para ajustar, calculamos el valor futuro de cada depósito al final de 24 periodos: El primer depósito se capitaliza por 24 periodos, el segundo por 22.5, el tercero por 21, y así sucesivamente. 7. Calculamos el monto acumulado sumando cada depósito capitalizado: $$A = \sum_{k=0}^{15} 12000 \times (1+0.03)^{24 - 1.5k}$$ 8. Calculamos la suma geométrica: Razón: $r = (1+0.03)^{-1.5} = 1.03^{-1.5} \approx 0.9550$ Número de términos: $n=16$ Primera potencia: $(1.03)^{24} \approx 2.0328$ Suma: $$A = 12000 \times 2.0328 \times \frac{1 - 0.9550^{16}}{1 - 0.9550}$$ Calculamos $0.9550^{16} \approx 0.4724$ Entonces: $$A = 12000 \times 2.0328 \times \frac{1 - 0.4724}{1 - 0.9550} = 12000 \times 2.0328 \times \frac{0.5276}{0.045}$$ $$A = 12000 \times 2.0328 \times 11.7244 = 12000 \times 23.83 = 285960$$ 9. Por lo tanto, la cantidad acumulada al final de 8 años es aproximadamente 285960.