Question: Un concesionario ofrece la compra de un automóvil con la siguiente condición: 4 meses sin pagar ninguna cuota, para que el comprador pueda organizar sus finanzas. Transcurrido ese tiempo, deberá abonar ₡165.000 al final de cada mes durante 3 años. Si la tasa de interés aplicada es del 1,6% mensual, ¿cuál es el precio de contado equivalente al día de hoy?
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar el valor presente (precio de contado) hoy de una serie de pagos mensuales de $165000$ durante $3$ años, comenzando después de $4$ meses sin pagos, con una tasa de interés mensual del $1.6\%$.
2. **Datos y fórmula:**
- Pago mensual $R = 165000$
- Número de pagos $n = 3 \times 12 = 36$
- Tasa de interés mensual $i = 0.016$
- Periodo de gracia sin pagos $m = 4$ meses
La fórmula para el valor presente de una anualidad ordinaria es:
$$
PV = R \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}
$$
Pero los pagos comienzan después de $4$ meses, por lo que el valor presente hoy es el valor presente de la anualidad descontado $4$ meses más:
$$
PV_0 = PV \times (1+i)^{-m}
$$
3. **Cálculo del valor presente de la anualidad:**
$$
PV = 165000 \times \frac{1 - (1+0.016)^{-36}}{0.016}
$$
Calculamos $(1+0.016)^{-36}$:
$$
(1.016)^{-36} = \frac{1}{(1.016)^{36}} \approx \frac{1}{1.7474} \approx 0.5723
$$
Entonces:
$$
PV = 165000 \times \frac{1 - 0.5723}{0.016} = 165000 \times \frac{0.4277}{0.016} = 165000 \times 26.73125 = 4,410,656.25
$$
4. **Descontar $4$ meses para obtener el valor presente hoy:**
$$
PV_0 = 4,410,656.25 \times (1.016)^{-4} = 4,410,656.25 \times \frac{1}{(1.016)^4}
$$
Calculamos $(1.016)^4$:
$$
(1.016)^4 = 1.016 \times 1.016 \times 1.016 \times 1.016 \approx 1.065
$$
Entonces:
$$
PV_0 = 4,410,656.25 \times \frac{1}{1.065} \approx 4,410,656.25 \times 0.938 = 4,136,785.5
$$
5. **Respuesta:**
El precio de contado equivalente al día de hoy es aproximadamente **4,136,786** (redondeado a la unidad).