1. Planteamiento del problema: Tenemos un préstamo de 3.000.000 con una tasa nominal anual de descuento del 70% para un plazo de 45 días. Se pide calcular el monto a devolver, la tasa efectiva de interés para el plazo y anual, y el resultado si se colocan los fondos al 75% nominal anual vencido. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Tasa nominal anual de descuento: $d = 0.70$ - Plazo en días: $t = 45$ - Días en el año: $360$ (usado comúnmente en finanzas) - Monto del préstamo: $P = 3.000.000$ Para tasa nominal de descuento, el valor presente $VP$ y valor futuro $VF$ se relacionan por: $$VP = VF \times (1 - d \times \frac{t}{360})$$ Para encontrar el monto a devolver $VF$: $$VF = \frac{VP}{1 - d \times \frac{t}{360}}$$ La tasa efectiva para el plazo $i$ se calcula como: $$i = \frac{d \times \frac{t}{360}}{1 - d \times \frac{t}{360}}$$ La tasa efectiva anual $i_a$ es: $$i_a = (1 + i)^{\frac{360}{t}} - 1$$ 3. Cálculo del monto a devolver (a): $$VF = \frac{3.000.000}{1 - 0.70 \times \frac{45}{360}} = \frac{3.000.000}{1 - 0.0875} = \frac{3.000.000}{0.9125}$$ Intermedio con cancelación: $$VF = \frac{3.000.000}{\cancel{0.9125}}$$ Calculando: $$VF \approx 3.288.135,59$$ 4. Cálculo de la tasa efectiva para el plazo (b): $$i = \frac{0.70 \times \frac{45}{360}}{1 - 0.70 \times \frac{45}{360}} = \frac{0.0875}{1 - 0.0875} = \frac{0.0875}{0.9125}$$ Intermedio con cancelación: $$i = \frac{\cancel{0.0875}}{\cancel{0.9125}}$$ Calculando: $$i \approx 0.0959 = 9.59\%$$ Tasa efectiva anual: $$i_a = (1 + 0.0959)^{\frac{360}{45}} - 1 = (1.0959)^8 - 1$$ Calculando: $$i_a \approx 1.999 - 1 = 0.999 = 99.9\%$$ 5. Resultado de colocar los fondos al 75% nominal anual vencido (c): - Tasa nominal anual vencida: $j = 0.75$ - Interés para 45 días: $$I = P \times j \times \frac{t}{360} = 3.000.000 \times 0.75 \times \frac{45}{360}$$ Intermedio con cancelación: $$I = 3.000.000 \times \cancel{0.75} \times \cancel{\frac{45}{360}}$$ Calculando: $$I = 3.000.000 \times 0.09375 = 281.250$$ Monto final de la colocación: $$M = P + I = 3.000.000 + 281.250 = 3.281.250$$ 6. Resultado de la operación: - Se debe devolver: 3.288.135,59 - Se recibe por colocación: 3.281.250 - Pérdida: $$3.281.250 - 3.288.135,59 = -6.885,59$$ La operación genera una pérdida de 6.885,59.