1. **Problema A, parte 1: Calcular la deuda al vencimiento**. El siervo Luis toma un préstamo de 60000 al 16% de interés simple por 5 años. La fórmula del interés simple es $$I = P \times r \times t$$ donde: - $P$ es el principal (60000), - $r$ es la tasa de interés anual (0.16), - $t$ es el tiempo en años (5). Calculamos el interés total: $$I = 60000 \times 0.16 \times 5 = 48000$$ El monto total sin abonos sería: $$M = P + I = 60000 + 48000 = 108000$$ Luis hace abonos: 15000 cada año por 5 años y otro de 20000 al año 4. Total abonos: $$15000 \times 5 + 20000 = 75000 + 20000 = 95000$$ Deuda al vencimiento: $$\text{Deuda} = M - \text{abonos} = 108000 - 95000 = 13000$$ 2. **Problema A, parte 2: Beneficio obtenido** Beneficio es el interés ganado por el prestamista: $$\text{Beneficio} = I = 48000$$ 3. **Problema B, parte 1: Calcular el valor del interés** Pedro firma un pagaré de 300000 al 12% interés simple. El día del descubrimiento de América es el 12 de octubre de 1492. Calculamos el tiempo desde el 23/2/2021 hasta 12/10/1492. Esto es imposible en tiempo negativo, asumimos que se refiere a años transcurridos desde 1492 hasta 2021. Tiempo $t = 2021 - 1492 = 529$ años. Interés: $$I = 300000 \times 0.12 \times 529 = 19044000$$ 4. **Problema B, parte 2: Monto de la deuda** $$M = P + I = 300000 + 19044000 = 19344000$$ 5. **Problema C, parte a: Monto (S) con capitalización mensual** Principal $P=500000$, tasa anual $r=0.18$, tiempo $t=3$ años. Capitalización mensual implica $n=12$ períodos por año. La fórmula para monto compuesto es: $$S = P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$ Calculamos: $$S = 500000 \times \left(1 + \frac{0.18}{12}\right)^{12 \times 3} = 500000 \times (1 + 0.015)^{36} = 500000 \times 1.015^{36}$$ Calculamos $1.015^{36} \approx 1.7137$ Entonces: $$S \approx 500000 \times 1.7137 = 856850$$ 6. **Problema C, parte b: Beneficio de la inversión** Beneficio = Monto - Principal $$B = 856850 - 500000 = 356850$$ 7. **Problema D, parte a: Fondo con mejor beneficio sin cálculo** El fondo con capitalización mensual da mejor beneficio que el semestral porque capitaliza más frecuentemente. 8. **Problema D, parte b: Justificación con cálculo usando capitalización compuesta** Para fondo A (12% semestral): Tasa semestral $r_s = 0.12$, capitalización semestral $n=2$, tiempo $t=3$ años. $$S_A = 500000 \times \left(1 + \frac{0.12}{2}\right)^{2 \times 3} = 500000 \times (1 + 0.06)^6 = 500000 \times 1.06^6$$ Calculamos $1.06^6 \approx 1.4185$ $$S_A \approx 500000 \times 1.4185 = 709250$$ Para fondo B (12% mensual): Tasa mensual $r_m = 0.12$, capitalización mensual $n=12$, tiempo $t=3$ años. $$S_B = 500000 \times \left(1 + \frac{0.12}{12}\right)^{12 \times 3} = 500000 \times (1 + 0.01)^{36} = 500000 \times 1.01^{36}$$ Calculamos $1.01^{36} \approx 1.4308$ $$S_B \approx 500000 \times 1.4308 = 715400$$ Comparando: $$S_B > S_A$$ Por lo tanto, el fondo B da mejor beneficio. **Respuesta final:** 1) Deuda al vencimiento (A): 13000 2) Beneficio obtenido (A): 48000 3) Valor del interés (B): 19044000 4) Monto de la deuda (B): 19344000 5) Monto (C): 856850 6) Beneficio (C): 356850 7) Mejor fondo sin cálculo (D): Fondo B 8) Mejor fondo con cálculo (D): Fondo B