1. Problema 1: Calcular el Valor Presente de un Gradiente Geométrico. La fórmula dada es: $$Vp = \frac{A}{G - i} \left[ \frac{(1 + G)^n}{(1 + i)^n} - 1 \right]$$ Donde: - $A$ es el primer pago o valor base del gradiente. - $G$ es la tasa de crecimiento geométrico. - $i$ es la tasa de interés. - $n$ es el número de periodos. Reglas importantes: - $G \neq i$ para evitar división por cero. - Las tasas deben estar en la misma unidad (por ejemplo, ambas en decimal). 2. Problema 2: Calcular el Valor Presente de un Gradiente Aritmético. La fórmula dada es: $$Vp = A_1 \left[ \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i} \right] + K \left[ \frac{1}{i} \left(1 - (1 + i)^{-n} \right) - \frac{n}{(1 + i)^n} \right]$$ Donde: - $A_1$ es el primer pago. - $K$ es el incremento constante en cada periodo. - $i$ es la tasa de interés por periodo. - $n$ es el número de periodos. Datos del problema 2: - Pagos en cada periodo: 800000, 1000000, 1200000, 1400000, 1600000, 1800000 - $n = 6$ - $i = 5\% = 0.05$ Calcular $A_1$ y $K$: - $A_1 = 800000$ - Incremento $K = 1000000 - 800000 = 200000$ Calcular cada término: $$\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i} = \frac{1 - (1.05)^{-6}}{0.05}$$ Calculemos $(1.05)^{-6}$: $$ (1.05)^6 = 1.3401 \Rightarrow (1.05)^{-6} = \frac{1}{1.3401} = 0.7462 $$ Entonces: $$ \frac{1 - 0.7462}{0.05} = \frac{0.2538}{0.05} = 5.076 $$ Calculemos el segundo término: $$ \frac{1}{i} (1 - (1 + i)^{-n}) - \frac{n}{(1 + i)^n} = 5.076 - \frac{6}{1.3401} = 5.076 - 4.477 = 0.599 $$ Finalmente, el valor presente es: $$ Vp = 800000 \times 5.076 + 200000 \times 0.599 = 4,060,800 + 119,800 = 4,180,600 $$ Respuesta: El valor presente del gradiente aritmético es aproximadamente $4,180,600$. --- Para el problema 1, no se proporcionaron valores numéricos específicos, por lo que no se puede calcular un valor numérico sin esos datos.