1. **Planteamiento del problema:** Juan Carlos hará 28 depósitos en su cuenta de ahorros con una tasa efectiva mensual (TEM) de 1.7%. Los depósitos son: - 12 depósitos mensuales de 9000 cada uno, desde el mes 1. - 12 depósitos bimestrales con valor inicial R y gradiente del 4%, desde el mes 14. - 4 depósitos trimestrales con valor inicial 21000 y gradiente de -3%, desde el mes 39. El saldo acumulado en el mes 48 es 633855.51. Se pide calcular R. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Para depósitos uniformes, el valor futuro (VF) se calcula con la fórmula de anualidad: $$VF = P \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$ - Para gradientes aritméticos, el valor futuro se calcula con: $$VF = P \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} + G \times \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i^2} - \frac{n}{i} \right]$$ - La tasa efectiva mensual es $i=0.017$. - Se debe calcular el valor futuro de cada serie de depósitos al mes 48 y sumarlos. 3. **Cálculo del valor futuro de los 12 depósitos mensuales:** - $P_1=9000$, $n_1=12$, $i=0.017$ - $$VF_1 = 9000 \times \frac{(1+0.017)^{12} - 1}{0.017}$$ - Calculamos: $$ (1.017)^{12} = 1.23144 $$ $$ VF_1 = 9000 \times \frac{1.23144 - 1}{0.017} = 9000 \times \frac{0.23144}{0.017} = 9000 \times 13.61 = 122490 $$ - Este valor está al mes 12, para llevarlo al mes 48 se capitaliza 36 meses: $$ VF_1^{48} = 122490 \times (1.017)^{36} $$ $$ (1.017)^{36} = 1.74742 $$ $$ VF_1^{48} = 122490 \times 1.74742 = 214086.5 $$ 4. **Cálculo del valor futuro de los 12 depósitos bimestrales con gradiente:** - Número de depósitos $n_2=12$, tasa efectiva bimestral $i_2 = (1.017)^2 - 1 = 1.034289 - 1 = 0.034289$ - Primer depósito $P_2 = R$, gradiente $G=0.04R$ (4% de R) - Valor futuro al último depósito (mes 36 desde el mes 14) se calcula con: $$VF_2 = R \times \frac{(1+i_2)^{n_2} - 1}{i_2} + 0.04R \times \left[ \frac{(1+i_2)^{n_2} - 1}{i_2^2} - \frac{n_2}{i_2} \right]$$ - Calculamos: $$ (1.034289)^{12} = 1.5116 $$ $$ \frac{1.5116 - 1}{0.034289} = 14.87 $$ $$ \frac{1.5116 - 1}{0.034289^2} = \frac{0.5116}{0.001176} = 435.3 $$ $$ \frac{n_2}{i_2} = \frac{12}{0.034289} = 350.1 $$ - Entonces: $$ VF_2 = R \times 14.87 + 0.04R \times (435.3 - 350.1) = R \times 14.87 + 0.04R \times 85.2 = R \times (14.87 + 3.41) = 18.28R $$ - Este valor está al mes 36 desde el mes 14, para llevarlo al mes 48 (12 meses más) se capitaliza 6 meses a tasa mensual: $$ VF_2^{48} = 18.28R \times (1.017)^6 $$ $$ (1.017)^6 = 1.106 $$ $$ VF_2^{48} = 18.28R \times 1.106 = 20.21R $$ 5. **Cálculo del valor futuro de los 4 depósitos trimestrales con gradiente negativo:** - Número de depósitos $n_3=4$, tasa efectiva trimestral $i_3 = (1.017)^3 - 1 = 1.052 - 1 = 0.052$ - Primer depósito $P_3=21000$, gradiente $G = -0.03 \times 21000 = -630$ - Valor futuro: $$ VF_3 = 21000 \times \frac{(1+0.052)^4 - 1}{0.052} + (-630) \times \left[ \frac{(1.052)^4 - 1}{0.052^2} - \frac{4}{0.052} \right] $$ - Calculamos: $$ (1.052)^4 = 1.2255 $$ $$ \frac{1.2255 - 1}{0.052} = 4.32 $$ $$ \frac{1.2255 - 1}{0.052^2} = \frac{0.2255}{0.0027} = 83.52 $$ $$ \frac{4}{0.052} = 76.92 $$ - Entonces: $$ VF_3 = 21000 \times 4.32 + (-630) \times (83.52 - 76.92) = 90720 - 630 \times 6.6 = 90720 - 4158 = 86562 $$ - Este valor está al mes 48, no requiere capitalización adicional. 6. **Sumamos los valores futuros y los igualamos al saldo acumulado:** $$ VF_1^{48} + VF_2^{48} + VF_3 = 633855.51 $$ $$ 214086.5 + 20.21R + 86562 = 633855.51 $$ $$ 20.21R = 633855.51 - 214086.5 - 86562 = 333206.99 $$ $$ R = \frac{333206.99}{20.21} = 16491.5 $$ **Respuesta final:** El valor del primer depósito bimestral es aproximadamente **16491.5**.