1. Planteamos el problema: Tenemos un servidor con ingresos y costos que varían con el tiempo $t$ en años. 2. Las tasas dadas son: $$R'(t) = 8000 - 40t^2$$ $$C'(t) = 3500 + 10t^2$$ 3. La vida útil óptima es cuando los ingresos dejan de ser mayores que los costos, es decir, cuando $R'(t) = C'(t)$. 4. Igualamos las tasas: $$8000 - 40t^2 = 3500 + 10t^2$$ 5. Simplificamos: $$8000 - 3500 = 10t^2 + 40t^2$$ $$4500 = 50t^2$$ 6. Despejamos $t^2$: $$t^2 = \frac{4500}{50} = 90$$ 7. Calculamos $t$: $$t = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \approx 9.49$$ 8. Por lo tanto, la vida útil óptima es aproximadamente $9.49$ años. 9. Ahora calculamos la utilidad neta total durante la vida útil, que es la integral de la diferencia entre ingresos y costos desde $0$ hasta $t=9.49$: $$U(t) = \int_0^{9.49} (R'(t) - C'(t)) dt = \int_0^{9.49} \big((8000 - 40t^2) - (3500 + 10t^2)\big) dt$$ 10. Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$8000 - 40t^2 - 3500 - 10t^2 = 4500 - 50t^2$$ 11. Integramos: $$U(t) = \int_0^{9.49} (4500 - 50t^2) dt = \left[4500t - \frac{50t^3}{3}\right]_0^{9.49}$$ 12. Evaluamos en $t=9.49$: $$4500 \times 9.49 - \frac{50 \times (9.49)^3}{3}$$ Calculamos cada término: $$4500 \times 9.49 = 42705$$ $$9.49^3 = 9.49 \times 9.49 \times 9.49 \approx 854.8$$ $$\frac{50 \times 854.8}{3} = \frac{42740}{3} \approx 14246.67$$ 13. Finalmente: $$U(9.49) = 42705 - 14246.67 = 28458.33$$ 14. La utilidad neta total generada durante la vida útil del servidor es aproximadamente 28458.33 dólares.