1. **Problemstellung:** Das Ehepaar Zander nimmt 118000 Schulden auf und möchte diese mit gleichbleibenden Annuitäten von 15000 tilgen. Der Zinssatz beträgt 5% pro Jahr. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Annuität $A$ setzt sich zusammen aus Zinsen auf die Restschuld und Tilgung: $$A = Zinsen + Tilgung$$ Die Zinsen berechnen sich als: $$Zinsen = Restschuld \times Zinssatz$$ Die Tilgung ist dann: $$Tilgung = A - Zinsen$$ Die Restschuld am Ende eines Jahres ist: $$Restschuld_{neu} = Restschuld_{alt} - Tilgung$$ 3. **Tilgungsplan erstellen:** Wir starten mit einer Restschuld von 118000. | Jahr | Restschuld Anfang | Zinsen (5%) | Tilgung | Annuität | Restschuld Ende | |-------|-------------------|-------------|---------|----------|-----------------| | 0 | 118000 | - | - | - | 118000 | Jahr 1: Zinsen = $118000 \times 0.05 = 5900$ Tilgung = $15000 - 5900 = 9100$ Restschuld Ende = $118000 - 9100 = 108900$ Jahr 2: Zinsen = $108900 \times 0.05 = 5445$ Tilgung = $15000 - 5445 = 9555$ Restschuld Ende = $108900 - 9555 = 99445$ Jahr 3: Zinsen = $99445 \times 0.05 = 4972.25$ Tilgung = $15000 - 4972.25 = 10027.75$ Restschuld Ende = $99445 - 10027.75 = 89417.25$ Jahr 4: Zinsen = $89417.25 \times 0.05 = 4470.86$ Tilgung = $15000 - 4470.86 = 10529.14$ Restschuld Ende = $89417.25 - 10529.14 = 78888.11$ Jahr 5: Zinsen = $78888.11 \times 0.05 = 3944.41$ Tilgung = $15000 - 3944.41 = 11055.59$ Restschuld Ende = $78888.11 - 11055.59 = 67832.52$ Jahr 6: Zinsen = $67832.52 \times 0.05 = 3391.63$ Tilgung = $15000 - 3391.63 = 11608.37$ Restschuld Ende = $67832.52 - 11608.37 = 56224.15$ Jahr 7: Zinsen = $56224.15 \times 0.05 = 2811.21$ Tilgung = $15000 - 2811.21 = 12188.79$ Restschuld Ende = $56224.15 - 12188.79 = 44035.36$ Jahr 8: Zinsen = $44035.36 \times 0.05 = 2201.77$ Tilgung = $15000 - 2201.77 = 12798.23$ Restschuld Ende = $44035.36 - 12798.23 = 31237.13$ Jahr 9: Zinsen = $31237.13 \times 0.05 = 1561.86$ Tilgung = $15000 - 1561.86 = 13438.14$ Restschuld Ende = $31237.13 - 13438.14 = 17798.99$ Jahr 10: Zinsen = $17798.99 \times 0.05 = 889.95$ Tilgung = $15000 - 889.95 = 14110.05$ Restschuld Ende = $17798.99 - 14110.05 = 3688.94$ Jahr 11: Zinsen = $3688.94 \times 0.05 = 184.45$ Tilgung = $15000 - 184.45 = 14815.55$ Restschuld Ende = $3688.94 - 14815.55 = -11126.61$ (negativ, also Schulden getilgt) 4. **Antworten:** (b) Die Schulden sind nach 11 Jahren vollständig getilgt. (c) Die insgesamt gezahlten Zinsen sind die Summe aller Zinsen: $$5900 + 5445 + 4972.25 + 4470.86 + 3944.41 + 3391.63 + 2811.21 + 2201.77 + 1561.86 + 889.95 + 184.45 = 35673.39$$ (d) Nach der Hälfte der Laufzeit sind noch nicht die Hälfte der Schulden getilgt, weil am Anfang der Tilgung der Zinsanteil hoch ist und die Tilgung gering. Erst mit sinkender Restschuld wird der Zinsanteil kleiner und die Tilgung größer. Deshalb tilgt man am Anfang langsamer und am Ende schneller.