1. **Problemstellung:** Peter hat 980000 CHF angelegt mit einem Zinssatz von 2.5% pro Jahr. Er möchte jährlich 60000 CHF am Jahresanfang entnehmen, ohne dass sein Kapital schrumpft. Wir sollen bestimmen, nach wie vielen Jahren er nur von den Zinsen leben kann. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Der Zinsertrag pro Jahr ist $$Z = K \times p$$ mit Kapital $$K$$ und Zinssatz $$p = 0.025$$. 3. Um nur von den Zinsen zu leben, muss der jährliche Zinsertrag mindestens 60000 CHF betragen: $$K \times 0.025 \geq 60000$$ 4. Wir lösen nach $$K$$ auf: $$K \geq \frac{60000}{0.025}$$ 5. Berechnung: $$K \geq \frac{60000}{0.025} = 2400000$$ 6. Anfangskapital ist 980000 CHF, das ist weniger als 2400000 CHF. Peter muss also sein Kapital durch Zinsen und Entnahmen wachsen lassen, bis es 2400000 CHF erreicht. 7. Jährliche Entnahme erfolgt am Jahresanfang, danach wächst das Kapital mit 2.5% Zinsen. 8. Modellierung des Kapitals $$K_n$$ nach $$n$$ Jahren: $$K_0 = 980000$$ $$K_{n+1} = (K_n - 60000) \times 1.025$$ 9. Wir suchen $$n$$, so dass $$K_n \geq 2400000$$. 10. Um die Rekursion zu lösen, setzen wir $$K_n = A + B \times (1.025)^n$$ und bestimmen $$A$$ und $$B$$: Aus der Rekursion: $$K_{n+1} = (K_n - 60000) \times 1.025 = 1.025 K_n - 61500$$ Dies ist eine lineare Differenzengleichung mit inhomogenem Term. 11. Die Gleichgewichtslösung $$K^*$$ erfüllt: $$K^* = (K^* - 60000) \times 1.025$$ $$K^* = 1.025 K^* - 61500$$ $$61500 = 0.025 K^*$$ $$K^* = \frac{61500}{0.025} = 2460000$$ 12. Die allgemeine Lösung ist: $$K_n = K^* + C \times (1.025)^n$$ 13. Anfangsbedingung: $$K_0 = 980000 = 2460000 + C$$ $$C = 980000 - 2460000 = -1480000$$ 14. Also: $$K_n = 2460000 - 1480000 \times (1.025)^n$$ 15. Wir suchen $$n$$ mit: $$K_n \geq 2400000$$ $$2460000 - 1480000 \times (1.025)^n \geq 2400000$$ $$-1480000 \times (1.025)^n \geq -60000$$ Multiplizieren mit -1 (Ungleichung umdrehen): $$1480000 \times (1.025)^n \leq 60000$$ $$ (1.025)^n \leq \frac{60000}{1480000} = 0.04054$$ 16. Da $$1.025^n > 1$$ für alle $$n > 0$$, diese Ungleichung ist nie erfüllt. Das bedeutet, das Kapital wächst nicht auf 2400000, sondern nähert sich 2460000 von unten an. 17. Wir suchen stattdessen $$n$$, so dass $$K_n$$ nahe an 2400000 ist, z.B. $$K_n \geq 2390000$$: $$2460000 - 1480000 \times (1.025)^n \geq 2390000$$ $$-1480000 \times (1.025)^n \geq -70000$$ $$1480000 \times (1.025)^n \leq 70000$$ $$ (1.025)^n \leq \frac{70000}{1480000} = 0.0473$$ Auch nicht möglich. 18. Das Kapital nähert sich asymptotisch 2460000 an, überschreitet es aber nicht. Also kann Peter theoretisch sofort von den Zinsen leben, wenn er jährlich 60000 am Jahresanfang abhebt, da das Kapital nicht schrumpft. 19. **Antwort:** Peter kann ab sofort von den Zinsen leben, ohne dass sein Kapital schrumpft.