1. Das Problem: Wir sollen die Zinseszinsformel finden, ihre Herleitung verstehen und die Bedeutung der Variablen $K_n$, $K_0$, $q$, $p$, $n$ erklären. 2. Die Zinseszinsformel beschreibt, wie sich ein Anfangskapital $K_0$ über $n$ Perioden mit einem Zinssatz $p$ (in Prozent) vermehrt, wenn die Zinsen jeweils zum Kapital hinzugerechnet werden. 3. Die Formel lautet: $$K_n = K_0 \cdot q^n$$ Dabei ist $q = 1 + \frac{p}{100}$ der Wachstumsfaktor pro Periode. 4. Herleitung: - Nach der ersten Periode wächst das Kapital von $K_0$ auf $K_1 = K_0 \cdot q$. - Nach der zweiten Periode wird das Kapital erneut mit $q$ multipliziert: $K_2 = K_1 \cdot q = K_0 \cdot q \cdot q = K_0 \cdot q^2$. - Allgemein gilt nach $n$ Perioden: $$K_n = K_0 \cdot q^n$$ 5. Bedeutung der Variablen: - $K_0$: Anfangskapital (Startbetrag) - $K_n$: Kapital nach $n$ Perioden - $p$: Zinssatz pro Periode in Prozent - $q$: Wachstumsfaktor pro Periode, berechnet als $q = 1 + \frac{p}{100}$ - $n$: Anzahl der Perioden (z.B. Jahre) 6. Wichtig ist, dass die Zinsen nicht nur auf das Anfangskapital, sondern auch auf die bereits angesammelten Zinsen berechnet werden, daher der Exponent $n$ im Wachstumsfaktor. Das ist die vollständige Erklärung und Herleitung der Zinseszinsformel.