1. **Enunciado do problema:** Determinar a altura inicial e a altura máxima atingida pela bola lançada verticalmente, cuja altura em função do tempo é dada por $$h(t)=-5t^2+12t+1,25$$ para $$t \in [0,2,5]$$. 2. **Fórmulas e conceitos importantes:** A função $$h(t)$$ é uma função quadrática da forma $$h(t)=at^2+bt+c$$, onde $$a=-5$$, $$b=12$$ e $$c=1,25$$. - A altura inicial é o valor de $$h(t)$$ quando $$t=0$$. - A altura máxima ocorre no vértice da parábola, cuja abscissa $$t_v$$ é dada por $$t_v=-\frac{b}{2a}$$. - A altura máxima é $$h(t_v)$$. 3. **Determinar a altura inicial:** Substituímos $$t=0$$ na função: $$h(0) = -5\times0^2 + 12\times0 + 1,25 = 1,25$$ Portanto, a bola foi lançada de uma altura de 1,25 metros. 4. **Determinar o tempo do vértice (altura máxima):** Usamos a fórmula do vértice: $$t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2\times(-5)} = -\frac{12}{-10} = 1,2$$ 5. **Calcular a altura máxima:** Substituímos $$t_v=1,2$$ na função: $$h(1,2) = -5\times(1,2)^2 + 12\times1,2 + 1,25$$ $$= -5\times1,44 + 14,4 + 1,25$$ $$= -7,2 + 14,4 + 1,25 = 8,45$$ 6. **Conclusão:** - A altura inicial da bola é 1,25 metros. - A altura máxima atingida pela bola é 8,45 metros, ocorrendo no instante $$t=1,2$$ segundos. 7. **Análise gráfica:** A parábola abre para baixo (pois $$a=-5<0$$), confirmando que o vértice é um máximo.