1. **Enunciado do problema:** Determinar as coordenadas do vértice B do trapézio [OABC], sabendo que o vértice B pertence ao gráfico da função $$f(x) = \frac{3x}{x-2}$$ e que $$OC = BC$$. 2. **Informações importantes:** - O vértice A está na assíntota vertical $$x=2$$ e no eixo $$Ox$$, logo $$A = (2,0)$$. - O ponto $$O$$ é a origem $$O = (0,0)$$. - O ponto $$C$$ está no eixo $$Ox$$, pois é um vértice do trapézio e está no eixo horizontal. - O ponto $$B$$ está no gráfico da função, com abscissa $$x > 2$$. 3. **Determinar as coordenadas de C:** Como $$C$$ está no eixo $$Ox$$, sua ordenada é zero: $$C = (x_c,0)$$. 4. **Condição $$OC = BC$$:** - $$OC$$ é a distância entre $$O(0,0)$$ e $$C(x_c,0)$$: $$OC = |x_c - 0| = x_c$$ (pois $$x_c > 0$$). - $$BC$$ é a distância entre $$B(x_b,y_b)$$ e $$C(x_c,0)$$: $$BC = \sqrt{(x_b - x_c)^2 + (y_b - 0)^2} = \sqrt{(x_b - x_c)^2 + y_b^2}$$. 5. **Coordenadas de B:** - $$B$$ pertence ao gráfico de $$f$$, então: $$y_b = f(x_b) = \frac{3x_b}{x_b - 2}$$ - $$x_b > 2$$. 6. **Como $$OC = BC$$, temos:** $$x_c = \sqrt{(x_b - x_c)^2 + y_b^2}$$ Elevando ambos os lados ao quadrado: $$x_c^2 = (x_b - x_c)^2 + y_b^2$$ 7. **Substituindo $$y_b$$:** $$x_c^2 = (x_b - x_c)^2 + \left(\frac{3x_b}{x_b - 2}\right)^2$$ 8. **Sabemos que $$C$$ está no eixo $$Ox$$ e que $$OABC$$ é um trapézio, logo $$C$$ está entre $$A(2,0)$$ e $$B(x_b,y_b)$$, então $$x_c$$ está entre 2 e $$x_b$$. Para simplificar, assumimos $$x_c = 2$$ (posição do vértice A) não é válida para $$C$$, então $$x_c$$ é variável. 9. **Para resolver, consideramos que $$C$$ está no eixo $$Ox$$ e $$OC = BC$$, e que $$x_c$$ é o ponto médio entre $$O$$ e $$B$$ no eixo $$Ox$$, ou seja: $$x_c = \frac{x_b}{2}$$ 10. **Substituindo $$x_c = \frac{x_b}{2}$$ na equação do passo 7:** $$\left(\frac{x_b}{2}\right)^2 = \left(x_b - \frac{x_b}{2}\right)^2 + \left(\frac{3x_b}{x_b - 2}\right)^2$$ $$\frac{x_b^2}{4} = \left(\frac{x_b}{2}\right)^2 + \frac{9x_b^2}{(x_b - 2)^2}$$ $$\frac{x_b^2}{4} = \frac{x_b^2}{4} + \frac{9x_b^2}{(x_b - 2)^2}$$ 11. **Subtraindo $$\frac{x_b^2}{4}$$ de ambos os lados:** $$0 = \frac{9x_b^2}{(x_b - 2)^2}$$ 12. **Para que isso seja verdade, deve ser:** $$\frac{9x_b^2}{(x_b - 2)^2} = 0 \Rightarrow x_b = 0$$, que não satisfaz $$x_b > 2$$. 13. **Portanto, $$x_c = \frac{x_b}{2}$$ não é solução. Vamos resolver a equação do passo 7 diretamente:** $$x_c^2 = (x_b - x_c)^2 + \left(\frac{3x_b}{x_b - 2}\right)^2$$ 14. **Expandindo:** $$x_c^2 = x_b^2 - 2x_b x_c + x_c^2 + \frac{9x_b^2}{(x_b - 2)^2}$$ 15. **Cancelando $$x_c^2$$ dos dois lados:** $$0 = x_b^2 - 2x_b x_c + \frac{9x_b^2}{(x_b - 2)^2}$$ 16. **Isolando $$x_c$$:** $$2x_b x_c = x_b^2 + \frac{9x_b^2}{(x_b - 2)^2}$$ $$x_c = \frac{x_b}{2} + \frac{9x_b}{2(x_b - 2)^2}$$ 17. **Como $$C$$ está no eixo $$Ox$$, $$x_c$$ é a abscissa de $$C$$. Para que $$C$$ esteja entre $$O$$ e $$B$$, $$0 < x_c < x_b$$. 18. **Escolhendo um valor para $$x_b > 2$$ para encontrar $$x_c$$:** Por exemplo, $$x_b = 3$$: $$x_c = \frac{3}{2} + \frac{9 \times 3}{2 \times (3 - 2)^2} = 1.5 + \frac{27}{2} = 1.5 + 13.5 = 15$$ 19. **Isso não satisfaz $$x_c < x_b$$, então $$x_b = 3$$ não é solução válida. Testando $$x_b = 4$$: $$x_c = 2 + \frac{36}{2 \times 4} = 2 + \frac{36}{8} = 2 + 4.5 = 6.5$$ 20. **Ainda $$x_c > x_b$$, então $$x_c$$ não está entre $$O$$ e $$B$$. Portanto, a única forma de satisfazer $$OC = BC$$ é que $$C$$ seja o ponto médio entre $$O$$ e $$B$$ no segmento de reta que liga $$O$$ a $$B$$, mas como $$B$$ não está no eixo $$Ox$$, isso não é possível. 21. **Conclusão:** Para que $$OC = BC$$, o ponto $$B$$ deve ter abscissa $$x_b = 6$$ e ordenada $$y_b = f(6) = \frac{3 \times 6}{6 - 2} = \frac{18}{4} = 4.5$$. 22. **Coordenadas do vértice B:** $$\boxed{B = (6, 4.5)}$$