1. **Enunciado do problema:** Temos três funções: - $f(x) = ax^2$ (função quadrática) - $g(x)$ função linear desconhecida - $h(x) = -x + 6$ (função afim) Sabemos que o ponto $A$ está no eixo das ordenadas (ou seja, $x=0$) e o ponto $B$ tem ordenada 4 (ou seja, $y=4$). Queremos: 1) Identificar qual expressão pode definir $g$ entre as opções dadas. 2) Determinar a área do triângulo $OAB$ (onde $O$ é a origem). 3) Calcular o valor de $g(3) - h(1) \times f(-2)$. --- 2. **Análise da função $g$:** - $g$ é linear, então $g(x) = mx + b$. - O ponto $A$ está no eixo das ordenadas, logo $A = (0, y_A)$. - O ponto $B$ tem ordenada 4, então $B = (x_B, 4)$ para algum $x_B$. Das opções: (A) $g(x) = x$ (coeficiente angular 1, intercepto 0) (B) $g(x) = 2x$ (coeficiente angular 2, intercepto 0) (C) $g(x) = 3x$ (coeficiente angular 3, intercepto 0) (D) $g(x) = 4$ (função constante) Como $A$ está no eixo das ordenadas, $g(0) = y_A$ deve ser a ordenada de $A$. Se $g$ não tem intercepto (b=0) nas opções A, B, C, então $A = (0,0)$. Se $g(x) = 4$, então $g(0) = 4$, logo $A = (0,4)$. Mas $B$ tem ordenada 4, então $g(x_B) = 4$. Se $g(x) = 4$ constante, então $g(x_B) = 4$ para todo $x_B$. Portanto, a única função que satisfaz $A$ no eixo das ordenadas e $B$ com ordenada 4 é a (D) $g(x) = 4$. --- 3. **Área do triângulo $OAB$:** - $O = (0,0)$ - $A = (0,4)$ (pois $g(0) = 4$) - $B = (x_B,4)$, mas $B$ tem ordenada 4, e está no gráfico de $f$ ou $g$? Como $B$ tem ordenada 4 e está no gráfico de $g(x) = 4$, $B$ pode ser qualquer ponto $(x,4)$. Para formar o triângulo $OAB$, precisamos do valor de $x_B$. Supondo que $B$ está no eixo das abcissas, mas não temos essa informação. Como $A$ está em $(0,4)$ e $O$ em $(0,0)$, e $B$ tem ordenada 4, vamos supor $B = (b,4)$. Área do triângulo com vértices $O(0,0)$, $A(0,4)$ e $B(b,4)$ é: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$$ Aqui, base é a distância entre $A$ e $B$ no eixo $x$, que é $|b - 0| = |b|$. Altura é a distância entre $O$ e $A$ no eixo $y$, que é 4. Logo: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \times |b| \times 4 = 2|b|$$ Sem o valor de $b$, não podemos calcular a área exata. --- 4. **Cálculo de $g(3) - h(1) \times f(-2)$:** - $g(x) = 4$ (constante), então $g(3) = 4$. - $h(1) = -1 + 6 = 5$. - $f(x) = ax^2$, mas $a$ não foi dado. Sem o valor de $a$, não podemos calcular $f(-2) = a \times (-2)^2 = 4a$. Logo: $$g(3) - h(1) \times f(-2) = 4 - 5 \times 4a = 4 - 20a$$ --- **Resumo final:** 1) A função $g$ é $g(x) = 4$ (opção D). 2) A área do triângulo $OAB$ é $2|b|$, onde $b$ é a abscissa do ponto $B$. 3) O valor de $g(3) - h(1) \times f(-2)$ é $4 - 20a$. Sem mais dados, não é possível determinar valores numéricos para a área e para o resultado da expressão.