1. **Enunciado do problema:** Temos uma função $f$ definida por três segmentos de reta no plano cartesiano: - De $(-2,-1)$ a $(0,4)$ - De $(0,4)$ a $(2,2)$ - De $(2,2)$ a $(5,2)$ Queremos: (a) Exemplos de valores de $k$ para que a equação $f(x) = k$ seja impossível, tenha uma só solução, tenha exatamente duas soluções e tenha infinitas soluções. (b) Definir a função $f$ por ramos. (c) Calcular $f(-1) - f(0) \times f(1) + f(\pi)$. 2. **Para (a) - valores de $k$ para a equação $f(x) = k$:** - O valor de $k$ representa uma linha horizontal $y=k$. - A solução da equação é o(s) ponto(s) de interseção entre essa linha e o gráfico de $f$. 3. **Análise dos segmentos:** - Segmento 1: de $(-2,-1)$ a $(0,4)$, reta crescente. A função varia de $-1$ a $4$ neste intervalo. - Segmento 2: de $(0,4)$ a $(2,2)$, reta decrescente. A função varia de $4$ a $2$ neste intervalo. - Segmento 3: de $(2,2)$ a $(5,2)$, reta horizontal. A função é constante e igual a $2$ neste intervalo. 4. **(a) Exemplos de $k$:** - (a) $k$ impossível: valor fora do alcance da função, por exemplo $k=5$ (pois $f(x)$ nunca atinge 5). - (b) $k$ com uma só solução: por exemplo $k=4$, que ocorre apenas em $x=0$. - (c) $k$ com exatamente duas soluções: por exemplo $k=3$, que corta o gráfico nos dois primeiros segmentos em dois pontos distintos. - (d) $k$ com infinitas soluções: $k=2$, pois no terceiro segmento $f(x)=2$ para todo $x \in [2,5]$. 5. **(b) Definir $f$ por ramos:** - Para $x \in [-2,0]$, a reta que passa por $(-2,-1)$ e $(0,4)$ tem coeficiente angular: $$m_1 = \frac{4 - (-1)}{0 - (-2)} = \frac{5}{2}$$ Equação do segmento 1: $$f(x) = m_1(x + 2) - 1 = \frac{5}{2}(x + 2) - 1 = \frac{5}{2}x + 5 - 1 = \frac{5}{2}x + 4$$ - Para $x \in [0,2]$, reta que passa por $(0,4)$ e $(2,2)$: $$m_2 = \frac{2 - 4}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$$ Equação do segmento 2: $$f(x) = m_2(x - 0) + 4 = -1 \times x + 4 = -x + 4$$ - Para $x \in [2,5]$, reta horizontal: $$f(x) = 2$$ Assim, $$f(x) = \begin{cases} \frac{5}{2}x + 4, & -2 \leq x \leq 0 \\ -x + 4, & 0 < x \leq 2 \\ 2, & 2 < x \leq 5 \end{cases}$$ 6. **(c) Calcular $f(-1) - f(0) \times f(1) + f(\pi)$:** - $f(-1)$: $-1 \in [-2,0]$, usar segmento 1: $$f(-1) = \frac{5}{2}(-1) + 4 = -\frac{5}{2} + 4 = -2.5 + 4 = 1.5$$ - $f(0)$: $0 \in [-2,0]$, segmento 1: $$f(0) = \frac{5}{2}(0) + 4 = 4$$ - $f(1)$: $1 \in (0,2]$, segmento 2: $$f(1) = -1 + 4 = 3$$ - $f(\pi)$: $\pi \approx 3.1415 \in (2,5]$, segmento 3: $$f(\pi) = 2$$ 7. **Substituir e calcular:** $$f(-1) - f(0) \times f(1) + f(\pi) = 1.5 - 4 \times 3 + 2 = 1.5 - 12 + 2 = (1.5 + 2) - 12 = 3.5 - 12 = -8.5$$ **Resposta final:** $$\boxed{-8.5}$$