1. Problema: Determinar el dominio y recorrido de las funciones dadas: d) $f(x) = \sqrt{2x}$ e) $f(x) = \frac{1}{x-2}$ f) $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2}$ 2. Fórmulas y reglas importantes: - El dominio de una función es el conjunto de valores de $x$ para los cuales la función está definida. - El recorrido es el conjunto de valores que toma $f(x)$. - Para raíces cuadradas, el radicando debe ser mayor o igual a cero. - Para fracciones, el denominador no puede ser cero. 3. Análisis de cada función: **d) $f(x) = \sqrt{2x}$** - Dominio: $2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$ - Recorrido: Como la raíz cuadrada siempre es no negativa, $f(x) \geq 0$ - Por lo tanto, dominio: $[0, \infty)$ y recorrido: $[0, \infty)$ **e) $f(x) = \frac{1}{x-2}$** - Dominio: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ - Recorrido: La función es una hipérbola con asíntota horizontal en $y=0$, por lo que $f(x) \neq 0$ - Dominio: $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ - Recorrido: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ **f) $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2}$** - Dominador siempre positivo: $x^{2} + 2 > 0$ para todo $x$ - Dominio: $(-\infty, \infty)$ - Para encontrar recorrido, analizamos extremos y límites: - Límite cuando $x \to \pm \infty$: $f(x) \to 0$ - Derivada para extremos: $$f'(x) = \frac{(1)(x^{2}+2) - x(2x)}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x^{2} + 2 - 2x^{2}}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{-x^{2} + 2}{(x^{2}+2)^{2}}$$ - Igualamos numerador a cero para extremos: $-x^{2} + 2 = 0 \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$ - Evaluamos $f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{2} + 2} = \frac{\sqrt{2}}{2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ - Evaluamos $f(-\sqrt{2}) = \frac{-\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ - Recorrido: $\left[-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right]$ 4. Resumen: - d) Dominio: $[0, \infty)$, Recorrido: $[0, \infty)$ - e) Dominio: $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$, Recorrido: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ - f) Dominio: $(-\infty, \infty)$, Recorrido: $\left[-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right]$