1. **Planteamiento del problema:** Queremos hallar el dominio y rango de la composición de funciones $g \circ f$, donde $f$ y $g$ están definidas por los siguientes pares: $f$: $\{(1,1), (3,2), (4,4), (6,7)\}$ $g$: $\{(0,0), (2,0), (4,4), (5,4), (6,4), (7, ?)\}$ (el valor de $g(7)$ no está definido) 2. **Definición de composición:** La composición $g \circ f$ se define como $g(f(x))$ para cada $x$ en el dominio de $f$ tal que $f(x)$ esté en el dominio de $g$. 3. **Dominio de $g \circ f$:** El dominio de $g \circ f$ es el conjunto de todos los $x$ en el dominio de $f$ para los cuales $f(x)$ está en el dominio de $g$. - Dominio de $f$ es $\{1,3,4,6\}$. - Evaluamos $f(x)$ para cada $x$: - $f(1) = 1$ (¿Está 1 en dominio de $g$? No, porque dominio de $g$ es $\{0,2,4,5,6,7\}$) - $f(3) = 2$ (2 está en dominio de $g$) - $f(4) = 4$ (4 está en dominio de $g$) - $f(6) = 7$ (7 está en dominio de $g$) Por lo tanto, el dominio de $g \circ f$ es $\{3,4,6\}$. 4. **Rango de $g \circ f$:** Calculamos $g(f(x))$ para cada $x$ en el dominio de $g \circ f$: - $g(f(3)) = g(2) = 0$ - $g(f(4)) = g(4) = 4$ - $g(f(6)) = g(7)$ no está definido, por lo que no podemos incluir $x=6$ en el dominio de la composición. Esto implica que debemos revisar el dominio de $g \circ f$ excluyendo $x=6$ porque $g(7)$ no está definido. Entonces, dominio final de $g \circ f$ es $\{3,4\}$. Rango de $g \circ f$ es $\{0,4\}$. 5. **Respuesta en notación conjuntista:** - Dominio de $g \circ f$: $\{3,4\}$ - Rango de $g \circ f$: $\{0,4\}$