1. El problema pide hallar el dominio y rango de la composición de funciones $g \circ f$, es decir, aplicar primero $f$ y luego $g$. 2. Recordemos que el dominio de $g \circ f$ es el conjunto de todos los valores en el dominio de $f$ que al aplicar $f$ dan valores dentro del dominio de $g$. 3. El rango de $g \circ f$ es el conjunto de todos los valores que se obtienen al aplicar $g$ a los valores del rango de $f$ que están en el dominio de $g$. 4. Datos: - Dominio de $f = \{1,3,4,6\}$ - Rango de $f = \{2,1,4,7\}$ (según las flechas: $f(1)=2$, $f(3)=1$, $f(4)=4$, $f(6)=7$) - Dominio de $g = \{0,2,4,5,6,7\}$ - Rango de $g = \{0,4\}$ 5. Verificamos qué valores del rango de $f$ están en el dominio de $g$: - $2 \in$ dominio de $g$ (sí) - $1 \notin$ dominio de $g$ (no) - $4 \in$ dominio de $g$ (sí) - $7 \in$ dominio de $g$ (sí) 6. Por lo tanto, para que $g(f(x))$ esté definido, $f(x)$ debe ser $2$, $4$ o $7$. Esto implica que el dominio de $g \circ f$ son los valores de $x$ en el dominio de $f$ que se mapean a esos valores: - $f(1) = 2$ (sí) - $f(3) = 1$ (no) - $f(4) = 4$ (sí) - $f(6) = 7$ (sí) Entonces, dominio de $g \circ f = \{1,4,6\}$. 7. Ahora calculamos el rango de $g \circ f$ aplicando $g$ a los valores $2$, $4$ y $7$: - $g(2) = 4$ - $g(4) = 0$ - $g(7) = 4$ Por lo tanto, rango de $g \circ f = \{0,4\}$. 8. Respuestas en notación conjuntista: - Dominio de $g \circ f = \{1,4,6\}$ - Rango de $g \circ f = \{0,4\}$