1. El problema pide hallar el dominio y rango de la composición de funciones $g \circ f$, es decir, aplicar primero $f$ y luego $g$. 2. Recordemos que el dominio de $g \circ f$ es el conjunto de todos los valores en el dominio de $f$ que al aplicar $f$ dan valores dentro del dominio de $g$. 3. El rango de $g \circ f$ es el conjunto de todos los valores que se obtienen al aplicar $g$ a los valores del rango de $f$ que están en el dominio de $g$. 4. Datos de la función $f$: dominio $\{1,3,4,6\}$ y $f(1)=2$, $f(3)=1$, $f(4)=4$, $f(6)=7$. 5. Datos de la función $g$: dominio $\{0,2,4,5,6,7\}$ y $g(0)=0$, $g(2)=4$, $g(4)=4$, $g(5)=0$, $g(6)=4$, $g(7)=0$. 6. Verificamos que los valores de $f(x)$ estén en el dominio de $g$: - $f(1)=2$ está en dominio de $g$. - $f(3)=1$ no está en dominio de $g$. - $f(4)=4$ está en dominio de $g$. - $f(6)=7$ está en dominio de $g$. 7. Por lo tanto, el dominio de $g \circ f$ es $\{1,4,6\}$ porque para $x=3$, $f(3)=1$ no está en el dominio de $g$. 8. Ahora calculamos $g(f(x))$ para $x$ en el dominio de $g \circ f$: - $g(f(1))=g(2)=4$ - $g(f(4))=g(4)=4$ - $g(f(6))=g(7)=0$ 9. El rango de $g \circ f$ es el conjunto de estos valores: $\{0,4\}$. 10. Respuesta final en notación conjuntista: - Dominio de $g \circ f$: $\{1,4,6\}$ - Rango de $g \circ f$: $\{0,4\}$