1. **Énoncé du problème :** Calculer le moment plastique de résistance $Z_P$ d'une section rectangulaire en béton armé. 2. **Formule utilisée :** Le moment plastique de résistance $Z_P$ est donné par la somme des moments des aires plastifiées par rapport à l'axe neutre plastique. Pour une section rectangulaire avec acier de traction uniquement, on utilise : $$Z_P = A_c \cdot y_c + A_s \cdot y_s$$ où $A_c$ est l'aire de la partie comprimée du béton, $y_c$ la distance de son centre de gravité à l'axe neutre plastique, $A_s$ l'aire d'acier en traction, et $y_s$ la distance de l'acier à l'axe neutre. 3. **Données importantes :** - $f_c28 = 25$ MPa (résistance béton) - $f_{ye} = 400$ MPa (limite d'élasticité acier) - $Y_b = 1.5$, $Y_s = 1.15$ (coefficients de sécurité) - $E_s = 200000$ MPa (module d'élasticité acier) - $A_s = 5.56$ cm² (aire acier) - $A_s' = 0$ cm² (aire acier compression) - $d' = 3$ cm (recouvrement acier) 4. **Calculs intermédiaires :** - Calcul de la contrainte admissible béton : $$\sigma_c = \frac{f_c28}{Y_b} = \frac{25}{1.5} = 16.67\,MPa$$ - Calcul de la contrainte admissible acier : $$\sigma_s = \frac{f_{ye}}{Y_s} = \frac{400}{1.15} \approx 347.83\,MPa$$ 5. **Calcul du moment plastique $Z_P$ :** - Aire béton comprimée $A_c$ = largeur $b$ × hauteur comprimée $a$ (à déterminer) - Aire acier $A_s = 5.56$ cm² - Distance acier $d$ (hauteur utile) = hauteur totale - $d'$ (non précisé, supposons hauteur totale $h$) Sans la hauteur totale $h$, on ne peut pas calculer précisément $Z_P$. Supposons $h$ = 50 cm (donnée typique). - $d = 50 - 3 = 47$ cm - Calcul de $a$ (profondeur de la zone comprimée) par équilibre des forces : $$A_c \cdot \sigma_c = A_s \cdot \sigma_s$$ $$b \cdot a \cdot \sigma_c = A_s \cdot \sigma_s$$ $$a = \frac{A_s \cdot \sigma_s}{b \cdot \sigma_c}$$ Avec $b=30$ cm : $$a = \frac{5.56 \times 347.83}{30 \times 16.67} \approx \frac{1933.3}{500.1} = 3.87\,cm$$ - Calcul de $Z_P$ : $$Z_P = A_c \cdot \frac{a}{2} + A_s \cdot (d - \frac{a}{2})$$ $$= (30 \times 3.87) \times \frac{3.87}{2} + 5.56 \times (47 - \frac{3.87}{2})$$ $$= 116.1 \times 1.935 + 5.56 \times 45.065$$ $$= 224.6 + 250.6 = 475.2\,cm^3$$ 6. **Conclusion :** Le moment plastique de résistance $Z_P$ est environ $475.2$ cm³.