1. **Énoncé du problème :** Corriger et résoudre l'exercice 2 sur les transformations affines concernant l'ouverture d'une porte modélisée dans un repère. 2. **Données :** - Repère porte $(R_{porte})$ avec origine au milieu des charnières. - Position de l'origine du repère porte dans le repère pièce $(R_0)$ : $O'(2;1)$. - Vecteurs de base de $(R_{porte})$ initialement alignés avec ceux de $(R_0)$. - Rotation de la porte de $45^\circ$. 3. **Objectifs :** 1) Trouver la matrice de passage $P$ de $(R_{porte})$ vers $(R_0)$. 2) Calculer la matrice $M_0$ de la transformation affine dans $(R_0)$. 3) Trouver la matrice inverse de $M_0$. --- ### 1) Matrice de passage $P$ de $(R_{porte})$ vers $(R_0)$ - Puisque les vecteurs de base sont alignés, la matrice de passage est simplement la translation de $O'$ dans $R_0$. $$P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Cette matrice représente une translation de vecteur $\vec{t} = (2,1)$. --- ### 2) Matrice $M_0$ de la transformation affine dans $(R_0)$ - La matrice de rotation dans $(R_{porte})$ est donnée : $$M_{porte} = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ & 2 \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ - La matrice $M_0$ s'obtient par conjugaison : $$M_0 = P \times M_{porte} \times P^{-1}$$ - Calculons $P^{-1}$ : $$P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Effectuons la multiplication : $$M_0 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ & 2 \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - En multipliant étape par étape, on obtient : $$M_0 = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ & 2 - 2\cos 45^\circ + \sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ & 1 - 2\sin 45^\circ - \cos 45^\circ \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ --- ### 3) Matrice inverse de $M_0$ - La matrice $M_0$ est une matrice affine composée d'une rotation $R$ et d'une translation $\vec{t}$ : $$M_0 = \begin{pmatrix} R & \vec{t} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ - L'inverse est donnée par : $$M_0^{-1} = \begin{pmatrix} R^T & -R^T \vec{t} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ - La transposée de la rotation $R$ est : $$R^T = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & \sin 45^\circ \\ -\sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix}$$ - Calculons $-R^T \vec{t}$ avec $\vec{t} = \begin{pmatrix} 2 - 2\cos 45^\circ + \sin 45^\circ \\ 1 - 2\sin 45^\circ - \cos 45^\circ \end{pmatrix}$ : $$-R^T \vec{t} = - \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & \sin 45^\circ \\ -\sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 - 2\cos 45^\circ + \sin 45^\circ \\ 1 - 2\sin 45^\circ - \cos 45^\circ \end{pmatrix}$$ - Ce calcul donne la composante translation de l'inverse. --- **Réponse finale :** $$P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ $$M_0 = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ & 2 - 2\cos 45^\circ + \sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ & 1 - 2\sin 45^\circ - \cos 45^\circ \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M_0^{-1} = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & \sin 45^\circ & * \\ -\sin 45^\circ & \cos 45^\circ & * \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ avec $*$ la composante translation calculée ci-dessus.