1. Énoncé du problème : Trouver l'intersection d'un plan défini par trois points non alignés avec une droite verticale ou une droite debout. 2. Formule et règles importantes : Un plan est défini par trois points non alignés $A$, $B$, et $C$. La droite $AB$ peut être représentée par ses projections horizontale $A^hB^h$ et verticale $A^vB^v$. L'intersection d'une droite avec un plan se trouve en résolvant le système d'équations des deux entités. 3. Travail intermédiaire : - Définir les coordonnées des points $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $C(x_C,y_C,z_C)$. - Écrire l'équation du plan passant par $A$, $B$, $C$ : $$\vec{n} = (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$$ $$n_x(x - x_A) + n_y(y - y_A) + n_z(z - z_A) = 0$$ - Écrire l'équation paramétrique de la droite verticale ou debout, par exemple pour une droite verticale passant par $D(x_D,y_D,z)$ : $$x = x_D, \quad y = y_D, \quad z = t$$ - Trouver $t$ en substituant dans l'équation du plan : $$n_x(x_D - x_A) + n_y(y_D - y_A) + n_z(t - z_A) = 0$$ - Résoudre pour $t$ : $$t = z_A - \frac{n_x(x_D - x_A) + n_y(y_D - y_A)}{n_z}$$ 4. Conclusion : L'intersection est le point $I(x_D, y_D, t)$ où la droite rencontre le plan. Cette méthode permet de déterminer la droite du plan connaissant l'une de ses projections et de trouver l'intersection avec une droite verticale ou debout.