1. **Énoncé du problème :** Soit $A(-x, -3)$, $B(-1, -5)$, et un vecteur $\vec{u} = (2,1)$. Trouver : - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$. - Une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par $1$ avec vecteur directeur $\vec{u}$. - Une équation cartésienne de la droite $(AB)$. 2. **Calcul des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :** La formule pour $\overrightarrow{AB}$ est : $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$$ Ici, $A=(-x, -3)$ et $B=(-1, -5)$ donc : $$\overrightarrow{AB} = (-1 - (-x), -5 - (-3)) = (-1 + x, -2)$$ 3. **Représentation paramétrique de la droite $D$ passant par $1$ avec vecteur $\vec{u}=(2,1)$ :** La forme paramétrique d'une droite passant par un point $P_0 = (x_0, y_0)$ avec vecteur directeur $\vec{u} = (a,b)$ est : $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$$ Si $D$ passe par le point $1$ (supposons $P_0 = (1,0)$ car l'énoncé est ambigu), alors : $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 0 + t \end{cases}$$ 4. **Équation cartésienne de la droite $(AB)$ :** Le vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB} = (-1 + x, -2)$. L'équation cartésienne d'une droite avec vecteur directeur $(a,b)$ passant par $A(x_A,y_A)$ est : $$b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0$$ Ici, $a = -1 + x$, $b = -2$, $A=(-x,-3)$ donc : $$-2(x + x) - (-1 + x)(y + 3) = 0$$ Simplifions : $$-2(x + x) + (1 - x)(y + 3) = 0$$ $$-2x - 2x + (1 - x)y + 3(1 - x) = 0$$ $$-4x + (1 - x)y + 3 - 3x = 0$$ $$ (1 - x)y = 4x + 3x - 3$$ $$ (1 - x)y = 7x - 3$$ 5. **Vérification des points sur la droite $(D)$ :** $(D) : x + y + 1 = 0$ - Pour $A(3, -4)$ : $3 + (-4) + 1 = 0$ donc $A \in (D)$. - Pour $B(1, 1)$ : $1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ donc $B \notin (D)$. - Pour $C\left(2, \frac{5}{2}\right)$ : $2 + \frac{5}{2} + 1 = \frac{9}{2} \neq 0$ donc $C \notin (D)$. 6. **Intersection des droites $(D)$ et $(D')$ :** $(D) : x + y + 1 = 0$ $(D') : \begin{cases} x = 2t - 1 \\ y = t + 1 \end{cases}$ Substituons dans $(D)$ : $$(2t - 1) + (t + 1) + 1 = 0$$ $$3t + 1 = 0$$ $$t = -\frac{1}{3}$$ Calculons le point d'intersection : $$x = 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$$ $$y = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$ Donc, le point d'intersection est $\left(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$. **Réponses finales :** - $\overrightarrow{AB} = (-1 + x, -2)$ - Paramétrisation de $D$ : $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \end{cases}$ - Équation cartésienne de $(AB)$ : $(1 - x)y = 7x - 3$ - $A \in (D)$, $B \notin (D)$, $C \notin (D)$ - $(D)$ et $(D')$ se coupent en $\left(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$