1. **Énoncé du problème :** Déterminer la perpendiculaire commune et la distance entre deux arêtes gauches du cube ABCDA'B'C'D' d'arête $a$, par exemple entre les arêtes $AB$ et $DD'$. 2. **Formule et critères :** Pour deux droites gauches, la distance $d$ est donnée par : $$d = \frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$ avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ les vecteurs directeurs des droites, et $\vec{PQ}$ un vecteur joignant un point $P$ de la première droite à un point $Q$ de la seconde. 3. **Détermination des vecteurs :** - $AB$ est une arête horizontale, supposons $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (a,0,0)$. - $DD'$ est une arête verticale, supposons $\vec{v} = \overrightarrow{DD'} = (0,0,a)$. 4. **Vecteur entre points :** Choisissons $P = A$ et $Q = D$. - $\vec{PQ} = \overrightarrow{AD} = (0,a,0)$. 5. **Calcul du produit vectoriel :** $$\vec{u} \times \vec{v} = (a,0,0) \times (0,0,a) = (0,-a^2,0)$$ 6. **Calcul du produit scalaire :** $$ (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{PQ} = (0,-a^2,0) \cdot (0,a,0) = -a^3 $$ 7. **Normes :** $$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-a^2)^2 + 0^2} = a^2$$ 8. **Distance :** $$d = \frac{| -a^3 |}{a^2} = a$$ 9. **Conclusion :** La perpendiculaire commune est la droite orthogonale à $AB$ et $DD'$ passant par les points $A$ et $D$, et la distance entre ces arêtes gauches est égale à $a$, la longueur de l'arête du cube. Cette construction est justifiée car les vecteurs directeurs sont orthogonaux, et la distance est la projection orthogonale du segment $AD$ sur la direction perpendiculaire commune.