1. **Énoncé du problème** : On considère les plans $(P) : x - 2y + z = 0$ et $(Q) : x + y + z + 3 = 0$ ainsi que la droite $(d)$ paramétrée par $x = -t - 2$, $y = -1$, $z = t$, avec $t \in \mathbb{R}$. Il s'agit d'étudier la position relative de la droite $(d)$ par rapport aux plans $(P)$ et $(Q)$. 2. **Formule et règles importantes** : Pour savoir si une droite est contenue dans un plan, on remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan. Si l'équation est vérifiée pour tout $t$, la droite est dans le plan. Si l'équation n'est jamais vérifiée, la droite est parallèle ou sécante au plan. 3. **Étude par rapport au plan $(P)$** : On remplace $x = -t - 2$, $y = -1$, $z = t$ dans $x - 2y + z = 0$ : $$(-t - 2) - 2(-1) + t = 0$$ Simplifions : $$-t - 2 + 2 + t = 0$$ $$\cancel{-t} - 2 + 2 + \cancel{t} = 0$$ $$0 = 0$$ Cette égalité est vraie pour tout $t$, donc la droite $(d)$ est contenue dans le plan $(P)$. 4. **Étude par rapport au plan $(Q)$** : On remplace $x = -t - 2$, $y = -1$, $z = t$ dans $x + y + z + 3 = 0$ : $$(-t - 2) + (-1) + t + 3 = 0$$ Simplifions : $$-t - 2 - 1 + t + 3 = 0$$ $$\cancel{-t} - 2 - 1 + \cancel{t} + 3 = 0$$ $$0 = 0$$ Cette égalité est aussi vraie pour tout $t$, donc la droite $(d)$ est contenue dans le plan $(Q)$. 5. **Conclusion** : La droite $(d)$ est contenue dans les deux plans $(P)$ et $(Q)$, donc elle est dans leur intersection.